だまされやすい確率

【3】１組のトランプの絵札（ジャック、クイーン、キング）の合計12枚の中から任意に4枚の札を選ぶとき、ジャック、クイーン、キングの札がそれぞれ少なくとも1枚選ばれる確率を求めよ。
　　・・・という問題に対して、Ａ君、Ｂ君、Ｃ君は次のように答えた。正しいのは、だれ？

　　　　《Ａ君の答え》
　　総数（分母）は ₁₂C₄ 通り。
　　分子は、まずＪ,Ｑ,Ｋの決め方が 4³ 通り。残り9枚の中から任意の1枚をとる。
　　よって、求める確率は　4³×9／₁₂C₄

　　　　《Ｂ君の答え》
　　まず３枚とり出して、その中にＪ,Ｑ,Ｋが含まれる確率は　4³／₁₂C₃
　　次に、残り9枚の中から任意の1枚をとる。
　　よって、求める確率は　4³／₁₂C₃×9／9

　　　　《Ｃ君の答え》
　　余事象を考える。Ｊ,Ｑだけが出るのは ₈C₄ 通り。
　　Ｑ,Ｋだけが出る場合も、Ｋ,Ｊだけが出る場合も同じ。
　　よって、求める確率は　1－₈C₄×3／₁₂C₄

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　生徒たちから「Ａ君じゃね？」「いや、Ｃ君だ」「全部合ってるように思う」などいろんな声が出たが、実はＡ君,Ｂ君,Ｃ君ともみんな間違い。（おぃおぃそれくらい気づけよ！）
　そこで私は「じゃぁ正しい確率出してよ」と振る。生徒たちは再び考え始めて、途中で他の人のと見比べると・・・合わない。みんなが出している数値が何パターンもあって、どれが正解だかわからない。
　ほぅれみろ。確率って出来そうで出来ないだろ。それを実感してもらうためにこの問題をやってるのさ。確率の問題って、解説を聞いたり答えを見たりすれば「ふむふむ」と分かった気になる。でも自分でやろうとすると、合わない。そういうもんなのさ。だからさ、僕が間違った答えを言っても、君らはたぶん信じるよ。僕はね、ここにいる全員をだます自信があるよ。
　そこで、まずは「Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の答え方、どこが間違っているのか指摘して」みよう。そうじゃないと、だまされる。Ａ君、Ｂ君、Ｃ君がどこで間違ったかというと、結局はモレがあったり、ダブったりということだ。

• Ａ君は、たとえば「（J1，Q1，K1）＋（J2）と（J2，Q1，K1）＋（J1）」をダブって数えている。
• Ｂ君は、たとえば「初めに（Ｊ，Ｊ，Ｑ）を取り出して、最後に（Ｋ）を取り出す場合」がモレている。
• Ｃ君は、たとえば「Ｊだけが出る場合」を２回ダブってカウントして、余計に引いている。

　では、ここで【3】の正しい答えを言おう。Ａ君、Ｂ君、Ｃ君の答え方を修正してもできるのだろうけれど、僕は次のように数えた。

　　2枚出る絵を選ぶ
　　（ＪorＱorＫ）　Ｑから1枚
　　　　　　↓　　　↓
　　　　　　3×₄C₂×₄C₁×₄C₁／₁₂C₄＝32／55
　　　　　　　　↑　　　　↑　
　例えばＪから2枚とる　　Ｋから1枚

ここで生徒たちは「なるほど」という顔をする。僕はすかさず「ほぅら、まただまされた！」。でも実はこれが正解。でも、そんなことは口が裂けても言わない。