指数法則 ⇄ 対数法則

　指数と対数は同じことを言い換えているだけです。

• a^m＝M　　⇔　　m＝log_aM　… ①
• aⁿ＝N　　⇔　　n＝log_aN　… ②

ですから、指数法則を対数で書き換えることもできます。

• a^m・aⁿ＝a^m＋n　… ③
• (a^m)^t＝a^mt　… ④

対数で表すということは、m , n を使わずに M と N で書き表すということでもあります。やってみましょう。

• ③を対数に書き換えると　log_aa^m・aⁿ＝m＋n
  さらに① , ②を使って m , n を M , N で書き換えると、
  log_aMN＝log_aM＋log_aN　… ⑤
• ④を対数に書き換えると　log_a(a^m)^t＝mt
  さらに①を使って m を M で書き換えると、
  log_aM^t＝t・log_aM　… ⑥

⑤ , ⑥が対数法則です。なんのことはない。指数法則を対数で書き換えただけなんですね。
　でも③ , ④の指数法則に比べて、まだピンとこない感じがするのではないでしょうか。そこで、もうちょっとイメージを膨らませて、⑤ , ⑥の意味をつかんでみましょう。

• a を単位時間あたりの増加率（一定）とします。
  そうすると 2 単位時間後に量が a² 倍になり、3 単位時間後に a³ 倍になりますね。
  では 5 単位時間後に量がどうなるかと考えると、
  　　　a⁵＝a²・a³　… ⑦
  となりますね。これが③の意味です。
• これを逆から見ましょう。
  量（倍）を固定したときに、時間の間にどんな関係が成り立つのかというと、
  「量が 6 倍になるのにかかる時間」＝「量が 2 倍になるのにかかる時間」＋「量が 3 倍になるのにかかる時間」ですよね。これを式で表すと、
  　　　log_a6＝log_a2＋log_a3　… ⑧
  となります。これが④の意味です。

つまり、時間を固定してそのときの量（倍）の関係を表現したのが⑦で、量（倍）を固定してそのときの時間の関係を表現したものが⑧なのです。
　というわけで、指数法則③ , ④と対数法則⑤ , ⑥は同じことを言っているとも言えますし、同じことを別の視点で見ているとも言えるでしょう。

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　ついでながら、

• a^m＝M　　⇔　　m＝log_aM　… ①

を使ってもう少々。①は「対数の定義」とも言えるものですが、

• ①の 左式の m に右式を代入すると　a^log_aM＝M　… ⑨
• ①の 右式の M に左式を代入すると　log_aa^m＝m　… ⑩

も作れます。⑨ , ⑩を公式と呼んでもいいのですが、実は「対数の定義」そのものとも言えます。