ベイズ推定（東工大2021年入試・総合型選抜の問題）

　取りうる事象が２種類である試行を独立に n 回行ったときに、一方の事象が何回起こるかの確率分布を二項分布という。二項分布に従う典型的な確率変数としては、コイン投げによって表（もしくは裏）が出る回数が挙げられる。
　このように、我々の生活の中には様々な確率分布が存在する。ただ、残念ながら確率がわかっているという状況は現実では極めて稀なケースであり、現実には確率がわかっておらず、データから分布を推定しなければならないケースがある。
　今、形が歪んでおり、表が出る確率がわからないコインを考える。そのわからない確率をθとおく（ただし 0＜θ＜1）。コインを投げる回数を n、表が出る回数を k とする。このとき「このコインを使用する」という前提のもとで表が k 回出る条件付き確率は

で表される。ここで、0！＝1 , nC0＝1 とする。さて、いまθの値がわからないので、限られた回数だけコインを実際に投げて得たデータから確率θを推定したい。以下の問いに答えよ。ただし、各問ごとにコインの歪み具合は異なるとする。

問１　確率θの値を推定する方法の一つに、尤度（ゆうど）関数と呼ばれる概念を使った最尤推定法という方法がある。まず、尤度関数とは、上記の条件付き確率 P をθの関数とみなし、n や k には実際に投げて得たデータの値を代入して評価したものである。いま、ある歪んだコインを３回投げて３回とも表が出た。このときの尤度関数を L(θ) とおくとき、L(θ) を求めよ。

問２　最尤推定法とは、尤度関数が最大値をとるようなθをその推定値とするような推定法である。ある歪んだコインを５回投げたところ、表が出た回数について以下の表のような結果を得た。

　　　　　表／裏（コイン１）│　表　裏

　　　　──────────┼─────

　　　　　　　　回数　　　　│　４　１

このとき、尤度関数を求めたうえで、上で説明した最尤推定法に従ってθの推定値θ^ を求めよ。

問３　一般に、n 回コインを投げたときに k 回表が出たとする。このとき、最尤推定法を用いて得たθの推定値θ^ は k/n となることを証明せよ。

　次の問４以降は、歪み方の異なる２つのコイン（コイン１とコイン２）を考える。それぞれ表の出る確率がθ1 , θ2 であるが、前問と同様にそれらの値はわからないとする。Ａさんがコイン１については20回、コイン２については50回投げたところ、表が出た回数について以下の表のような結果を得た。

　　　　　表／裏（コイン１）│　表　裏

　　　　──────────┼─────

　　　　　　　　回数　　　　│　11　9

　　　　　表／裏（コイン２）│　表　裏

　　　　──────────┼─────

　　　　　　　　回数　　　　│　24　26

　次に、別のＢさんがＡさんから１ , ２いずれかのコインを１つ受け取ったが、見た目が同じなためにどちらのコインを受け取ったかはわからず、したがって当初Ｂさんは「1/2 の確率でコイン１、1/2 の確率でコイン２」だと考えたとする。また、Ｂさんは、Ａさんがそれぞれのコインを投げて得た上記の結果は知っているとする。

　その後、Ｂさんが自らそのコインを10回投げたところ、出た回数について以下の表のような結果を得た。

　　　　　表／裏（コイン１ or ２） │　表　裏

　　　　─────────────┼─────

　　　　　　　　回数　　　　　　　│　５　５

さて、この結果からＢさんは受け取ったコインが１か２かをどのように判断するべきだろうか。以下ではこれを考察しよう。

問４　一般的に、X が起こる確率を P(X)、Y が起こる確率を P(Y)、そして X と Y が同時に起こる確率を P(X,Y) とするとき、「X が実現した、という条件の下で Y が実現する確率」は

　　　　　　P(Y|X)＝P(X,Y)÷P(X)

で与えられ、これを Y の X に関する条件付き確率という。P(Y|X) は以下のようにも表現できることを示せ。

　　　　　　P(Y|X)＝P(X|Y)P(Y)÷P(X)

これをベイズの定理という。

問５　Ｂさんが得た結果「表が５、裏が５」を条件としたときの、Ｂさんが受けとったコインが１である条件付き確率と２である条件付き確率を比較したとき、もし前者が大きければＢさんが受け取ったのはコイン１、後者が大きければコイン２と判断するとしよう。この場合、Ｂさんのコインは１,２のどちらと判断するのが妥当か、根拠も含めて答えよ。

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問１　　L(θ)＝θ³

問２　　L(θ)＝5θ⁴(1ーθ)　→　L'(θ)＝20θ³ー25θ⁴＝0　→　θ^＝4/5

問３　　θ^k(1ーθ)^nーk＝

問４　　P(X,Y)＝P(Y|X)P(X)＝P(X|Y)P(Y)

問５