空間図形を描く（その２）

　前回に続いて、もうちょっと複雑なもの（おもしろいもの）を描いてみましょう。
　数学の空間図形の問題でよく出てくるものですが、いきなり計算しようとせず、まず位置関係をつかみましょう。

(1)　２点 A , B が平面αに関して同じ側にあるとき、
　　「AP＋BP が最小となるような平面α上の点 P」

(2)　２点 A , B が直線 ℓ 上にないとき、
　　「△ABP の面積が最小となるような直線 ℓ 上の点 P」

(3)　直線 m の周りに直線 ℓ を回転してできる回転体

(4)　円すい曲面（２つの円すい）を平面で切ったときの切り口が、
　　放物線（だ円、双曲線）になる

(5)　光源 A から発した光が、中心が z 軸上にある球に当たって、
　　その影が xy 平面上の放物線を描く

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　まずはじめに (4) に関連する（というより、そのまんまですが）話を少々。円すい曲面を平面で切るとき、

　　　　　　　　　母線に平行　　　もっと寝かせる　　もっと立てる

　　　　　　　　　　　↓　　　　　　　　↓　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　　放物線　　　　　　 だ円　　　　　　　双曲線

となります。放物線・だ円・双曲線をあわせて２次曲線と呼びますが、「円すいを平面で切ると、切り口は２次曲線になる」ということです。(5) はこのことをふまえて考えてください。

(1)　２点 A , B が平面αに関して同じ側にあるとき、
　　「AP＋BP が最小となるような平面α上の点 P」
→　αに関してAと対称な点を A' とすると、AP＋PB＝ A’P＋PB
　　これが最小になるのは、A’, P , B が一直線上にあるとき。

(2)　２点 A , B が直線 ℓ 上にないとき、
　　「△ABP の面積が最小となるような直線 ℓ 上の点 P」
→　AB の長さは変わらないから、
　　三角形の高さが最小になるときを考えればよい。

(3)　直線 m の周りに直線 ℓ を回転してできる回転体
→　つづみ形になる。
　　体積を求めるには、回転軸に沿って積分すればよい。
　　回転軸を通る平面でこの曲面を切ると、双曲線になる。

(4)　円すい曲面（２つの円すい）を平面で切ったときの
　　切り口が、放物線（だ円、双曲線）になる
→　母線に平行な平面で切ると、放物線。
　　　　もっと寝かせると、だ円。
　　　　もっと立てると、双曲線。

(5)　光源 A から発した光が、中心が z 軸上にある球に
　　当たって、その影が xy 平面上の放物線を描く

→　円すい（球の影）を平面（xy 平面）で切るのと同じこと。
　　切り口が放物線だということは、直線ℓと xy 平面は平行。

　高校数学のことをイメージしながらいろいろ語りましたが、これは情報科のカリキュラムなので、メインテーマはあくまでもお絵かきです。

　以上で「製図」の授業の高校生バージョン、完了です。