パスカルの三角形の裏事情

　パスカルの三角形を書けば (a+b)ⁿ の展開式の各項の係数を簡単に求めることができる。たとえば、
 　　　　　(a+b)⁵ ＝ a⁵ ＋ 5a⁴b ＋ 10a³b² ＋ 10a²b³ ＋ 5ab⁴ ＋ b⁵　　という具合である。
 　パスカルの三角形の書き方は、
 　　　　　各段両端は 1 。
 　　　　　上段の２数の和を、２数の真ん中下段に書く。
 　　　　　これを繰り返す。
これだけである。上から n 段目の数が (a+b)ⁿ の展開式の各項の係数というわけである。
 　さて、今日は「なぜそれでうまくいくのか」を考えよう。

１．パスカルの三角形の中の数は、元をただせば「(a＋b)ⁿ の展開式の a^n－r b^r の係数 _nC_r 」である。
 　　∵）　(a＋b)ⁿ＝(a＋b)(a＋b)…(a＋b)
　　　　　n 個の（a＋b）から a か b のどちらかを取る。
　　　　　n 個のうち b をちょうど r 個取る場合の数は _nC_r 通り。
　　　　　これがそのまま a^n－r b^r の係数 になる。
 　　すなわち、上右の _○C_○ の図が元々のパスカルの三角形である。

２．上右図の左端は一般化すると _nC₀ だが、_nC₀＝1 である。
 　　※　「n 個の中から 0 個取る」 場合の数は 「何も取らない」 という１通り。
　　また、上右図の右端は一般化すると _nC_n だが、_nC_n＝1 である。
 　　※　「n 個の中から n 個取る」 場合の数は 「全部取る」 という１通り。
　　→ 以上から 「パスカルの三角形の両端の数は 1 」 であることが確認できた。

３．パスカルの三角形は左右対称である。そのことを式で表すと _nC_r ＝ _nC_n－r となる。
 　　※　「40人のクラスで運動会の棒倒しに出場する38人を選ぶ」には「出場しない2人を選ん」でも同じこと。
　　　　　すなわち ₄₀C₃₈ ＝ ₄₀C₂ 。一般に _nC_r ＝ _nC_n－r が成り立つ。

４．パスカルの三角形で 「上段の２数の和を、２数の真ん中下段に書く」 とした部分は、
 　　一般的には _nC_r ＝ _n－1C_r－1 ＋ _n－1C_r という式で書ける。
 　　※　「40人のクラスで10人の掃除当番を選ぶ」 場面を想定してみよう。
　　　僕自身は選ばれたくないが、選ばれてしまうかもしれない。
　　　僕自身が選ばれない（ラッキーな）場合は、僕以外の39人の中から10人選べば良いので ₃₉C₁₀ 通り。
　　　僕自身が選ばれる（アンラッキーな）場合は、僕以外の39人の中から9人選べば良いので ₃₉C₉ 通り。
　　　その両方を合わせたものが総数 ₄₀C₁₀ だ。
　　　すなわち ₄₀C₁₀ ＝ ₃₉C₉ ＋ ₃₉C₁₀ 。一般に _nC_r ＝ _n－1C_r－1 ＋ _n－1C_r が成り立つ。

　以上から、先ほど書いた単純な操作の繰り返しで (a＋b)ⁿ の展開式の各項の係数を書き出せることが示せた。めでたし、めでたし。