感じる科学、味わう数学: ありふれた偶然

◇　40人のクラスで、同じ誕生日の人がいる確率は、どれくらいでしょうか。
　　　　(ア)　10％　　(イ)　30％　　(ウ)　50％　　(エ)　70％　　(オ)　90％

　n人の誕生日がすべて異なる確率をp(n) ，n人の中の誰かと誰かの誕生日が一致する確率をq(n)とします。このとき、p(n)＋q(n)＝1が成り立ちます。ただし、ここではうるう年を考えずに、誕生日を365種類として計算します。
　まず、p(0)＝1 , p(1)＝1 と q(0)＝0 , q(1)＝0 は明らかです。最低でも 2人いないと、誕生日が一致することはあり得ませんから。またn＞365 のとき、p(n)＝0 , q(n)＝1 も明らかです。
　p(2) は2人目の誕生日が1人目の誕生日と異なる日であると考えて、p(2)＝p(1)×364／365 で計算できます。同様に、 p(3)＝p(2)×363／365 , p(4)＝p(3)×362／365 , … となります。
一般化すると p(n+1)＝p(n)×(365－n)／365 となります。また、q(n)＝1－p(n) です。

　さて、これを手計算するのは現実的ではありませんから、計算はエクセルに任せましょう。エクセルの関数式は、下のエクセル・シートでいうと、
　　○　セルB4の式：　　＝B3*(365－A3)／365
　　○　セルC4の式：　　＝1－B4
となります。これらを入力して、下方向にコピーすれば完成です。
　この結果、q(40)＝0.891 となりました。というわけで、冒頭の問いの答えは (オ) です。意外に高い確率だと思いませんか？

　コピーをもうちょっと続けましょう。その結果「クラスに同じ誕生日の人がいる確率」は50人のクラスで97％、57人のクラスで99％、68人のクラスで99.9％となりました。
　次に、このシートのC列をともに、q(n) のグラフを描いてみました。横軸が「人数」、縦軸が「同じ誕生日の人がいる確率」です。