2019年3月21日木曜日

旅行の行き先の決まり方

「同時ゲーム」のサンプル問題(→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/blog-post_96.html )の《解説・解答》です。

◇ 同時ゲームの解の求め方
以下の表中の括弧(      )の左側の数は夫の利得を、右側の数は妻の利得を表す。
夫の立場で考えるときは、表の数を上下で比べて大きい方を選ぶ。
妻の立場で考えるときは、表の数を左右で比べて大きい方を選ぶ。
そして夫婦の選択の重なったところがゲームの解となる。


《ケース1》2人とも「自分の行きたいところに行く」ことを優先する場合

このケースでは、表の空欄には上のように 2 と 3 が入る。
この場合、夫は妻の選択に関わらずミャンマーを選び、妻は夫の選択に関わらずフランスを選ぶ。
その結果、夫はミャンマーへ、妻はフランスへと、別々に行くことになる。つまり、解は1つに決まる。
両者の利得(満足度)はどちらも 3。二人とも少々不満が残る。
《ケース2》2人とも「2人で一緒に行く」ことを優先する場合

このケースでは、数 2 と 3 の場所が《ケース1》と逆転する。そして、ゲームの解も変わる。
夫の選択は妻の選択によって変わり、妻の選択は夫の選択によって変わる。
二人の選択が重なる部分は2つある。すなわち、解は2つある。
二人で一緒に行くことにはなるのだが、行き先がミャンマーなのかフランスなのかが決まらない。
《ケース3》では解が1つに決まる。妻が行きたいフランスに二人で一緒に行くことになる。妻にとってはフルマークの 4 点、夫にとっても納得の 3 点というところだろう。
 けれども「わがまま言った方の勝ち?」みたいで、夫としては割り切れない部分も残る。二人の優先順位が変わらなければ、夫の希望は永遠に満たされそうにない。

《ケース4》では、妻の優先順位(利得)が前の3つのケースとは変わっている。
 この場合、二人の選択には重なる部分が無い。つまり、このゲームには解が無い。妻がフランスに行きたいと言えば、夫もフランスに行くと言い、そうなると妻は行き先を変更し、夫も・・・とぐるぐる廻って、いつまでも安定しない。



 《ケース1》と《ケース2》では二人の優先順位が同じだが、《ケース3》と《ケース4》はそうではない。前者のようなケースを「対称ゲーム」と、後者のようなケースを「非対称ゲーム」と呼んでもよかろう。
 さて、《ケース1》と《ケース3》では解が1つに決まったが、《ケース2》と《ケース4》ではそうではなかった。以上のことは、これらを「同時ゲーム」ととらえたときの解である。ところで、これらを「時間差ゲーム」ととらえると解は違ってくる。そのことはまた後で、別の問題として考える。
 なお、《ケース4》はゲーム理論のおもしろいテーマになる。実はこれ、サッカーのPK戦と同じなのだ。キッカーが蹴るのと同じ方向に飛ぼうとするゴール・キーパーは「一緒に行きたい」という夫と同じ立場で、ゴール・キーパーの裏をかきたいキッカーは「別々がいい」という妻と同じ立場なのだ。まさにサッカーというゲームの中で合理的な判断とはどのようなものかを考える格好のテーマなのだ。これについてはまた後で「確率ゲーム」として考える。


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