我流でゲーデル解釈

＜ゲーデルの完全性定理＞
これは、正しい論理体系に関する定理である。正しい論理とは、

• 三段論法　「Ａ ならば Ｂ である。Ａ である。 → よって、Ｂ である。」
• 推移律　　「Ａ ならば Ｂ である。Ｂ ならば Ｃ である。 → よって、Ａ ならば Ｃ である。」　・・・　など。

ゲーデルの完全性定理が示したことは、

• どんな命題であっても、前提と論法から導けるか否か（真か偽か）を、必ず示すことができる。
• 前提と論法から正しく導ける命題（真である命題）は、有限個である。

すなわち、正しい論法をアルゴリズム化して、前提となる正しいもの全てをデータベース化すれば、

• コンピュータで、そこから導ける「正しい命題の一覧」を作ることができる。
• ある命題をコンピュータに入力すれば、瞬時に「真偽を判定してくれるプログラム」を作ることができる。

ということになる。どんな論理体系であっても、それが可能であることを、ゲーデルは示した。
そこに矛盾が生じず、判定不能に陥ることもない。だから「完全」だというわけである。


＜ゲーデルの不完全性定理＞
一方でゲーデルは「数が絡むと、途端に完全ではなくなる」ことを示した。

• 真偽を判定できないものが発生する。
• 真であることが明らかなのに、証明できないものが発生する。

これが、ゲーデルの不完全性定理である。そして、これは、

• 数学においては、コンピュータのような機械的な操作では、証明も真偽判定もできない 。
• 数学で体系化できないものを使って、人は定理を証明し、真偽を判定している。

そういう部分があることを示している。ところで、「数が絡む」ということは、科学全般に当てはまるということだ。

• 科学は不完全なものである。人間は、科学によって完全な理解を得ることはできない。
• ある物差しを当てれば、それに応じて現象が見えてくるというに過ぎない。

だから「不完全」だというわけである。これを「限界」と見るべきか、それとも「可能性」と見るべきか。
　考えてみると、「数学の限界」を、人が「数学的に証明」したのである。なんともおもしろいことではないか。

以上、我流の解釈です。