ひもを結ぶ問題、後半戦

【2】ひもが３本ある。両端６個を２つずつに分けて３回結ぶとき、大きな１つの輪ができる確率を求めよ。　　（名古屋市大 2000年）

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　上の記事 に書いたのは、総数を数えるにあたって、

ひもと両端には区別がないのに、区別して数え、
結ぶ順番とどちらの手で取るかは区別があるはずなのに、区別せずに数える

ことにして、総数を

₆C₂×₄C₂÷3！＝15通り

としました。これが確率を求める際の分母になります。
　次に考えるべきは、分子（大きな１つの輪ができる場合の数）です。さて、これは何通りでしょうか。１通りではありませんよ。分母を数える際に「ひもと両端を区別して、結ぶ順番とどちらの手で取るかは区別しなかった」のですから、分子を数える際にも同じように数えなければなりません。

　上左図はその１例です。ひもと両端を区別すれば、他にもあります。その場合の数は

ひもＢとひもＣの入れ替え、
ひもＢの端 b₁ と b₂ の入れ替え、
ひもＣの端 c₁ と c₂ の入れ替え、

これらを計算すると、2×2×2＝8通り　となります。

　念のため他の２つのパターン、すなわち「小さな円が３つできる場合」（上中図）、「中くらいの円が１つと小さな円が１つできる場合」（上右図）についても数えてみましょう。３のパターンを合わせて 15通り になるはずですから。
　「小さな円が３つできる」のは、

結ぶ順番を区別しないのだから、1 通り

だけです。上中図以外にはありえません。また「中くらいの円が１つと小さな円が１つできる」のは、

ひもＡ,Ｂ,Ｃの入れ替えが 3 通り
ひもＢの端 b₁ と b₂ の入れ替えが 2 通り

ですから、3×2＝6通り　です。
　以上３パターン合わせると、8＋1＋6＝15通り。総数と合いましたね。これで確信がもてたでしょう。
　というわけで、【2】の答えは　8／15　です。