場合の数の数え方 と 確率の数え方 の違い

　「場合の数を求めるときの数え方」と「確率を求めるときの数え方」は実は全然違います。この点を分かっていないと、確率の問題でしょっちゅう間違えることになります。教える方はそのことを生徒にきちんと伝えないと、生徒たちが出来るようになりません。
　どこが違うかというと、「区別するか、しないか」という点。そしてそこを自覚的にやらないと、なかなか正解に行き着かないのです。
　それを実感するための問題を３題用意しました。【1】は基本問題。ここでくどくどと説明します。その後で練習問題を１つ出します。トライしてください。

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【1】 1円玉、10円玉、100円玉が３枚ずつ、全部で９枚ある。この中から３枚とる。

　　(1)　異なる金額は全部で何通りあるか。

　　(2)　３枚の合計金額が111円になる確率を求めよ。

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【1】(1)　ひたすら全部書き出せば良い。

3円 , 12円 , 21円 , 30円 , 102円 , 111円 , 120円 , 201円 , 210円 , 300円の 10通り

ところで(1)では「1円玉3枚を区別していない」ことに注目しよう。ここでは金額が問題になっているのだから、金額が異なるコインは区別するが、金額が同じコインは区別しないで数える。当たり前と思うだろうが、確認しておく。

(2)　まず典型的な間違いは「(1)の10通りのうち111円になるのは1通りだから、1／10」というもの（実際そのような誤答が多い。上のように(1)に続けると、誤答率がアップする）。なぜ間違いかというと、(1)の10通りのものが起きる頻度が等しくないから。
　ここで確率の計算法を確認しよう。

起こりうるすべての場合の数が n 通りで、そのうちある事柄が起きる場合の数が k 通りとする。
この n 通りの起き方が「同様に確からしい」とき、その事柄が起きる確率は k／n

つまり(1)の10通りの起き方が「同様に確からしい」わけではないので、k／n とやっても正しい確率は求められないということだ。
　では、どうするか？　「同様に確からしい」が守られるように数えるしかないわけだ。
　どうやって？　「同じ金額のコインを区別して数える」ことで、その条件を満たすのだ。
　ここで(2)の正解を示そう。正解は、

3×3×3／₉C₃＝ 9／28 　・・・(A)

さて、正解が出たからといってまだ話は終わらない。最初に言ったように「何を区別して、何を区別しなかったのか」を自覚的に振り返ってみよう。
　(A)の分母（起こりうるすべての場合の数）を見てみよう。₉C₃ の 9 は何を区別したのかしなかったのか、C は何を区別したのかしなかったのか、言えるかな？
　ここで _nC_r の意味を確認しよう。

異なる n 個の中から（重複を許さずに） r 個取り出すが、取り出す順番を区別しない場合の数

すなわち、「9」と書いた時点であなたは「9個のものを区別した」ということだ。つまり9枚のコインを全部区別しているということだ。金額の異なるコインはもちろんのこと、金額が同じコインであっても「便宜上区別して数えた」ということである。
　また「C」と書いた時点であなたは「取り出す順番を区別しなかった」ということだ。つまり3枚のコインをガバっと一発で取ったようなイメージだ。実際には1枚ずつ3回に分けて取ったのかもしれないが、「便宜上同時に取ったものとして数えた」ということである。

　細かい話だと思うだろうか。でも、この点をクリアにしておかないと、場合の数・確率の問題で正しい値が出せないのだ。確率が苦手な人は、その点がクリアになっていないからなのだ。この点さえクリアにすれば、あなたは確率が得意になる。だから、私は今くどくど語っているのである。
　話を続けよう。設問(2)で「なぜコインを全部区別したのか？　なぜ取り出す順番を区別しなかったのか？」
　その訳は、コインを区別しないと「同様に確からしい」が守られないからだ。そこが崩れると正しい確率が求められないので、この問題ではコインを区別することは必須なのである。
　一方、取り出す順番は区別しなくても「同様に確からしい」が守られる。ならば、取り出す順番を区別しないで数えた方が場合の数が少なくて済む。だから、取り出す順番を区別しない方が計算が楽なのである。もし「取り出す順番を区別する」なら順列 ₉P₃＝504 通りになるのだが、そしてそれで計算しても良いのだが、それでは数が多くなって計算が面倒だ。だから、組み合わせ ₉C₃＝84 通りで計算した方が楽だということだ。
　次に、(A)の分子についても確認しよう。ここで確認しておかなければならないことがある。それは「区別するかしないかを分子と分母（総数）とそろえなければならない」ということ。(A)では分母（総数）を数えるにあたって「コインは全部区別して、取り出す順番は区別しなかった」のだから、分子（111円になる場合の数）を数えるときも同じように数えないといけないということだ。
　だから(A)の分子が「3×3×3＝27 通り」なのだ。1円玉を区別するから3通り、10円玉も区別するから3通り、100円玉も区別するから3通り。でも順番は区別しない（「1円玉→10円玉→100円玉」の順でも「100円玉→10円玉→1円玉」の順でも同じ）ので「3×3×3＝27 通り」。そういうわけだ。

　ではここで「場合の数の数え方と確率の数え方の違い」についてまとめよう。

　まず「場合の数」の問題で「何通りか？」と聞かれたときは「区別するかしないか」は問題文に書いてある（もしくは状況から読み取れる）ので、それに従えばよい。
　それに対して「確率」の問題で「確率を求めよ」と言われたときは「区別するかしないか」は問題文に何て書いてあるかは関係ない。「同様に確からしい」を守ることは絶対条件で、それさえ守ればあとはなるべく簡単に計算できるように「区別するかしないかをあなたが決めればよい」。そういうことだ。

コツを言うなら、

　何でもかんでも区別すれば「同様に確からしい」は守られる。だから何でもかんでも区別すれば、安心と言えば安心。けれどもそれでは総数が増えてしまうので、計算が面倒になりがち。
　だから「同様に確からしい」を崩さない範囲で、区別しないでまとめて処理できるものは区別せずに数えた方が楽。けれども「区別しない」のをやりすぎて「同様に確からしい」が崩れてしまったら、その瞬間にアウト。正しい確率が出せなくなる。
　だから「同様に確からしい」を崩さないギリギリのところまで「区別せずに」数える・・・これが確率のコツ。

　ながぁーい話だったが、お分かりいただけただろうか。お分かりいただけたなら、次の【問題】にトライしてみよう。

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【2】ひもが３本ある。両端６個を２つずつに分けて３回結ぶとき、大きな１つの輪ができる確率を求めよ。
　

答えは 下に。。。