場合の数の数え方（P,C,π,H の使い分け）

　場合の数を数えるための公式４つ。これら４種が「何を区別して、何を区別していないか」を自覚して、これら４種を比較しながら使い分けたい。

　まず、同じことは「異なる n 個の中から r 個取り出す」という点。「異なる」という部分がポイントで、つまり P であれ C であれ π であれ H であれ「n 個のものを区別している」ということ。この点をまず確認しておこう。
　その上で、r 個取り出す際に「重複不可＝同じものを何度も取り出してはいけない」のか「重複可＝同じものを何度も取り出して良い」のかの違いで２種類に分けられる。また、また取り出す「順番を区別する」のか「しない」のかの違いで、こちらの方でも２種類に分けられる。それらの組み合わせで、全部で４種類になる。
　それぞれ順列 _nP_r ，組合せ _nC_r ，重複順列 _nπ_r ，重複組合せ _nH_r と呼ぶ。

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　このうち順列 _nP_r と組合せ _nC_r については教科書にも載っているし、練習もしているだろうからここでは説明せずに、重複順列 _nπ_r と重複組合せ _nH_r について簡単に説明しよう。

◇　重複順列 _nπ_r

例：大中小３個のサイコロを投げて出る目の場合の数は、₆π₃＝6³＝216通り
一般に、異なる n 個の中から重複を許して r 個取り出す（順番を区別する）
　→　_nπ_r＝n^r

◇　重複組合せ _nH_r

例：x＋y＋z＋w＝10 を満たす負でない整数解の個数は？
　　○○○│○○○○│○│○○　←→　(x , y , z , w)＝(3 , 4 , 1 , 2)
　　││○○○○○○○○○○│　←→　(x , y , z , w)＝(0 , 0 , 10 , 0)
　　　　　　　　　　　　　　：
と考えれば1：1に対応するから、○10個と棒3本を並べる場合の数を数えればよい。　₄H₁₀＝₁₃C₁₀＝₁₃C₃＝ 286 個
一般に、異なる n 個の中から重複を許して r 個取り出す（順番を区別しない）
　→　r 個の物を n 種類に分ける（規則正しく並べよう）　　
　→　r 個の○と n－1 本の棒を１列に並べる
　→　_nH_r＝_n＋r－1C_r

では、次の問題をやってみよう。

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【問】サイコロを３回投げて出た目の数を順に a , b , c とする。次の確率は？
　　(1)　a , b , c がすべて異なる。
　　(2)　a＜b＜c となる。
　　(3)　a ≦ b ≦ c となる。

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《答え》
　(1)　₆P₃／₆π₃＝6・5・4／6³＝5／9
　(2)　₆C₃／₆π₃＝6・5・4／3!・6³＝5／54
　(3)　₆H₃／₆π₃＝₈C₃／6³＝7／27