x^n と e との怪しい関係

◎　n が実数のとき、 (xⁿ) '＝nx^n-1
　　たとえば、 (x³) '＝3x²
　　　　　　　 (1/x) '＝(x^－1) '＝－x^－2＝－1/x²
　　　　　　　 (√x) '＝(x^1/2) '＝1/2・x^－1/2＝1/2√x
　　また、(1) '＝(x⁰) '＝0x^－1＝0 …①　だから「(定数) '＝0」とも整合性が取れている。

〇　では、ここで【問題】です。次の命題の真偽を判定してください。

命題１「x^a の形の式を微分すると x^b の形の式になる」 はすべての実数の定数 a で成り立つ？
命題２「x^a の形の式を微分すると x^b の形の式になる」 はすべての実数の定数 b で成り立つ？

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　答えは、命題１は真、命題２は偽です。上の①より
　「x^a の形の式を微分すると、x^b の形の式になる」は a＝0 でも成り立つが、b＝－1 にはなりえない
　つまり、「x^a の形の式を微分しても、 x^－1＝1/x は絶対に出てこない」。

◎　では、「微分して x^－1＝1/x になるものはないのか？」というと、そうではない。
　ある。 それが自然対数 log x だ。式で書くと、(log x) '＝1/x　となる。

○　すなわち、「微分して x^b の形になるもの」はというと、
　　　b＝－1 でなければいつも x^a の形をしているのに、b＝－1 のときだけ対数が、
　しかもなぜか突然 e が出てくるのである。
　不思議というか、面白いというか、薄気味悪いというか、どう感じるかはあなた次第。

◎　微分の逆が積分です。以上のことから、xxⁿ の積分は、

　　　　　{ 1/(n+1)・xⁿ⁺¹＋C　(n≠－1)
∫xⁿ dx＝ ｛
　　　　　{ log x＋C　　　　　　(n＝－1)

となる。