ｅ ってなに？

指数関数 y＝a^x は必ず点 (0,1) を通るが、a の値によって (0,1) での傾きが変わる。
その傾きがちょうど 1 になるときがある。そのときの a の値を e で表すことにしよう。… (1)

ところで、y＝e^x の逆関数が y＝log_ex だから、２つのグラフは直線 y＝x に関して対称だ。
ということは、y＝log_ex 上の点 (1,0) での傾きも 1 ということになる。　　　　　　　… (2)

このように e を決めると、すごく良いことが起こる。なんと、(e^x)’＝e^x になる。　　  … (3)
シンプルでいいじゃないか。しかも、(log_ex)’＝1/x になる。　　　　　　　　　　　　… (4)

結局 e とはなんなのか？　(1) や (2) は定義としては心もとない。
そこで (2) を書き換えたものを e の定義としよう。　　　　　　　　　　　　　　　　… (5)

以上を逆にたどると、次のような流れになる。
(5) と定義すると、そこから (2)→(1) が導けて、(3) と (4) の公式が導ける。
さらにそれを使えば点 (0,1) または (1,0) での傾きが 1 であることが計算できる。そういうわけさ。