待ち行列

（モデル化とシミュレーション）

　平日の昼時にはラーメン屋の前にサラリーマンの行列ができ、夕方にはスーパーマーケットのレジに行列ができ、休日のショッピングセンターでは駐車場の空きを待つ車の行列ができる。 ところで、行列とは、人が列を作って並ぶものだけを言うのではない。 コールセンターに電話して待たされるのも、サーバーにアクセスが集中して動きが鈍くなるのも、行列ができているのと同じようなことである。
　では、行列ができる様子をモデル化してシミュレーションしてみよう。 ２つのケースを考える。 スーパーマーケットのレジに客が並ぶ様子を表したものが ＜例１＞ で、サーバーへのアクセスに応答する様子を表したものが ＜例２＞ である。

＜例１＞

	A	B	C	D	E	F	G
1	客  （人目）	到着間隔  （分）	到着時刻  （分）	開始時刻  （分）	終了時刻  （分）	待ち時間  （分）	行列人数  （人）
2	1	1.14	1.14	1.14	2.14	0.00	0
3	2	0.56	1.70	2.14	3.14	0.44	1
4	3	0.31	2.01	3.14	4.14	1.13	2
5	4	1.93	3.94	4.14	5.14	0.20	1
6	5	1.36	5.30	5.30	6.30	0.00	0
…	…

　＜例１＞ と ＜例２＞ において、サービスを提供するのに要する時間はちょうど１分とする。 B 列が客が到着する間隔だが、乱数を使って最大で2分で、平均しておよそ１分になるように設定した。 C列は業務をスタートしてからの通算の時間である。 ここまでは ＜例１＞ も ＜例２＞ も同じである。

＜例２＞

	A	B	C	D	E
1	客 （人目）	到着間隔  （分）	到着時刻  （分）	サーバー の処理	終了時刻  （分）
2	1	1.56	1.56	proceed	2.56
3	2	1.73	3.29	proceed	4.29
4	3	0.18	3.47	busy	4.29
5	4	0.58	4.05	busy	4.29
6	5	1.77	5.82	proceed	6.82
…	…

　＜例１＞ と ＜例２＞ の違いは次の点である。 ＜例１＞ では、前の客の支払いが済んでいればすぐにレジ打ちを始めるが、前の客の処理が終わっていないときは行列に並んで順番を待つ。 ＜例２＞ では、サーバーが他の処理をしていなければ次のアクセスに対する処理を進める （proceed） が、前のアクセスに対する処理が終わっていない （busy） ときは次のアクセスを無視する （つまり、行列に並ばせない） ものとする。
　ところで、上の例ではレジもサーバーも１台という想定でモデル化・シミュレーションした。 でも、２系統で分散処理すれば、サービス向上になる。 もちろんその分だけ経費がかかるので、経営者はサービスと経費との兼ね合いでレジ係りを何人置いたらよいか、サーバーを何台用意したよいかを判断するだろう。 そして、その場合は上の例をアレンジしてモデル化・シミュレーションすればよいだろう。

(1)　＜例１＞ のセル B3 , C3 , D3 , E3 , F3 , G3 ならびに ＜例２＞ のセル D3 , E3 の関数式を答えなさい。ただし、下方向にコピーして正しく動く式を答えること。

(2)　＜例２＞ のD列以降を書き換えて、２系統で分散処理するためのエクセル・シートを作りなさい。 ただし、１行目に適当な列のタイトルをつけ、３行目の関数式を明記すること。 なお、経費のことは考えなくてよい。

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《 解答例 》
 (1)　＜例１＞
　　　B3 　　　= RAND ( )＊2
　　　C3 　　　= C2＋B3
　　　D3 　　　= MAX (C3 , E2)
　　　E3 　　　= D3＋1
　　　F3 　　　= D3－C3
　　　G3 　　　= ROUNDUP (F3 , 0)
 　　＜例２＞
　　　D3 　　　= IF (C3>=E2 , "proceed" , "busy")
　　　E3 　　　= IF (D3="proceed" , C3+1 , E2)

 (2)

	A	B	C	D	E	F	…
1	客  （人目）	到着間隔  （分）	到着時刻  （分）	サーバー  の処理	Ａの  終了時刻	Ｂの  終了時刻
2	1	0.94	0.94	Ａ	1.94	0.00
3	2	0.82	1.76	Ｂ	1.94	2.76
…	…	0.06	1.82	busy	1.94	2.76

　　　セル D1 のタイトル 　　　サーバーの処理　　　　　　　　
　　　セル D3 の関数式 　　　= IF (C3>=E2 , "A" , IF (C3>=F2 , "B" , "busy"))
　　　セル E1 のタイトル 　　　Aの終了時刻
　　　セル E3 の関数式 　　　= IF (D3="A" , C3+1 , E2)
　　　セル F1 のタイトル 　　　Bの終了時刻
　　　セル F3 の関数式 　　　= IF (D3="B" , C3+1 , F2)