ボールを遠くに投げるための角度

【問】変数 t が正の値をとって変わるとき、
　　   点 P（ａcosθ・t ， ａsinθ・t－t²）について考える。
　　　ただし、ａ とθは定数で、ａ＞0 ，0°＜θ＜90° である。

(1)　点 P の軌跡を求めよ。
(2)　点 P の y 座標が 0 になるときの点 P の x 座標を求めよ。
(3)　(2) の x 座標の値が最大になるのは、定数θがいくつのときか。

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《 答え 》
(1)　x＝ａcosθ・t …① ， y＝ａsinθ・t－t² …②　とおく。
　　 ①より　t＝x／ａcosθ
　　 ②に代入して　y＝tanθ・x－x²／ａ²cos²θ　（x＞0）　　← 放物線軌道を描く

(2)　y＝ａsinθ・t－t²＝t（ａsinθ－t）＝0　より　t＝ａsinθ（∵t＞0）
　　 このとき　x＝ａcosθ・t＝ａ² sinθcosθ＝ａ² sin2θ／2

(3)　(2)より x が最大になるのは 2θ＝90°⇔θ＝45°のとき。

以上から、ボールを遠くに投げるには仰角45°の角度で投げれば良いことがわかる。