儲けを最大にするにはいくらで売ればよいか

　次の問題、慶応大学・環境情報学部2013年度入試・数学の問題です。２次関数の最大値を求める問題だが、学園祭の屋台をネタに問題を組み立てているところが面白い。

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【問】ある大学は7月に七夕祭、11月に秋祭と２回学園祭を行っている。あなたはその大学に属している学生であるとして、以下の問に答えよ。ただし p , q , r は実数値をとるものと考える。

(1)　あなたは友人といっしょに、焼きそばの屋台を七夕祭に出店することを企画した。焼きそば１人前を p 円としたときの売れ行きは

q＝600－p（人前）　（ただし 100≦p≦600）

で、また、焼きそばを作る諸経費の総額は c＝100q 円であるとする。売り上げ pq 円から諸経費を差し引いた残りを儲けとすると、儲けを最大にするには焼きそば１人前を □□□ 円で売ればよい。また、そのときの儲けは □□□□□ 円となる。

(2)　次にあなたは、焼きそばの屋台を秋祭にも出店しようと考えている。焼きそば１人前をp円としたときの売れ行きは

q＝1200－2p（人前）　（ただし 100≦p≦600）

で、また、焼きそばを作る諸経費の総額cは

┌　100q　　　　　　　　　（0≦q≦200）
└　q2/2－100q＋20000　（q＞200）

とする。
　このとき、儲けを最大にするには、焼きそば１人前を □□□ 円とすればよく、そのときの儲けは □□□□□□ 円となる。

(3)　焼きそばの屋台を七夕祭と秋祭の両方に出店する場合、焼きそばに同じ値段をつけなければならないとしたら、七夕祭と秋祭における儲けの合計を最大にするには焼きそば１人前を □□□ 円で売ればよく、そのときの儲けは異なる値段を付けて構わない場合と比べて □□□□ 円の減少となる。

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《解説・解答》
　数学的には「２次関数の最大値」の問題。数学の教科書的には最大値を求めるために平方完成するのが定石だが、この問題では次のことを使った方が楽。

○　y＝(x-α)(x-β) は x＝(α＋β)/2　で最大値をとる。

答えは、順に

(1)　350円　，62500円　　(2)　425円　，102500円　　(3)　410円　，4500円