自然数の和 と 奇数の和

右図より

 

1＝1²
1＋3＝2²
1＋3＋5＝3²
1＋3＋5＋7＝4²
　　：
1＋3＋5＋…＋(2n-1)＝n²　…（奇数の和）

また、①の左辺の１つ１つに１を足すと、

2＋4＋6＋…＋2n＝n²＋n　…（偶数の和）

さらに両辺を２で割ると、

1＋2＋3＋…＋n＝(n²＋n)／2　…（自然数の和）

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もしくは、

右図より

1＋2＋3＋…＋n＝(n²＋n)／2　… ①（自然数の和）

①の n を 2n とすると、

1＋2＋3＋…＋2n＝2n²＋n　… ②

①×2 より

2＋4＋6＋…＋2n＝n²＋n　… ③（偶数の和）

②−③ より

1＋3＋5＋…＋(2n-1)＝n²　…（奇数の和）