PCR検査実施数はどれくらいが適当か？

　ある病気に感染している人の割合（感染率）を1％とします。また、その病気に感染しているか否かを調べる検査の精度を99％とします。すなわち、感染していないのに陽性反応が出る確率が1％で、感染しているのに陰性となる確率も1％です。

◇　感染率　　　1％  ◇　検査の精度 99％

  ある人がその検査を受けたところ、陽性反応が出ました。さて、この人が実際に病気に感染している確率はどれくらいでしょうか。

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 「検査の精度が99％なら、実際に感染している確率はかなり高いだろう」と思うのではないでしょうか。でも、実は意外と低いのです。この問題、高校・数学でいうと「条件付き確率」の問題ですが、なかなか分かりにくい問題だと思います。
　計算してみましょう。便宜上、検査を受ける人数を10,000人とします。このうち感染しているのは1％の100人…①で、感染していないのは9,900人…②です。検査で誤った判定が出る確率は1％ですから、①のうち1％（＝1人）には陰性反応が出て、②のうち1％（＝99人）には陽性反応が出ます。

		検査		計
		陽性	陰性
感 染	あり	99	1	100
	なし	99	9,801	9,900
計		198	9,802	10,000

   以上から、受検者10,000人を「感染しているか、否か」と「陽性か、陰性か」で4つに分類すると、右表のようになります。
　表から、この検査で陽性反応が出るのは全部で198人で、そのうち実際に感染しているのは99人、実は感染していない人も99人だということが分かります。ということは、「陽性反応が出た人が実際に感染している確率」は 50％ です。意外と小さいと思いませんか。

　そのことを面積図で説明しましょう。次図中の「有・無」は感染の有り・無しです。「正・誤」は検査結果が「正しいか誤りか」です。色付きの部分が「陽性」が出る部分で、確率を計算するときの分母になります。このうち「実際に感染」しているのは図左上の横長の部分で、確率を計算するときの分子になります。上の例では２カ所の面積が同じなので、確率は 1/2 になるというわけです。

	正　　　　　誤
↑		有 無
	←

 
　では、ここで現実の新型コロナ・ウィルス感染症とPCR検査に引き寄せて考えてみましょう。
　上では計算しやすいように「感染率1％、検査の精度99％」と仮定して計算しましたが、新型コロナ・ウィルスの感染率は１％よりはもっとずっと低いでしょうし、PCR検査の精度も99％よりもっと低いでしょう。感染率が低いと、右図の横長の部分がもっと薄くなります。検査の精度がもう少し低いと、右図の縦長の部分がもっと厚くなります。つまり、先ほどの確率計算において、分母が大きく、分子が小さくなるわけです。
　例えば、感染率が0.1％、検査の精度が90％なら、分母がざっくり10倍に、分子がざっくり10分の１になるわけですから、先ほどの確率50％がいきなり100分の１ほど、つまり0.5％程度になってしまうわけです。
　というわけで、この手の検査を闇雲にやると「陽性が出た人のうちで実際に感染しているのは１％未満」みたいなことになりかねないわけです。