【定理１】
a2＋b2＝c2 を満たす自然数 a , b , c のうち、どれかは３の倍数であり、どれかは４の倍数であり、どれかは５の倍数である。
【例】
・ 32＋42＝52 では、3 が 3 の倍数で、4 が 4 の倍数で、5 が 5 の倍数である。
・ 52＋122＝132 では、12 が 3 の倍数であり 4 の倍数でもある。また、5 が 5 の倍数である。
・ 82＋152＝172 では、15 が 3 の倍数であり 5 の倍数でもある。また、8 が 4 の倍数である。
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【証明１】
(A) a , b , c がいずれも３の倍数でないと仮定すると、
a ≡ ±1 , b ≡ ±1 , c ≡ ±1（mod 3）より a2 ≡ 1 , b2 ≡ 1 , c2 ≡ 1
このとき a2＋b2 ≡ 2 となり、これは a2＋b2 ≡ c2 に矛盾する。
よって、a , b , c のいずれかは３の倍数である。
(B) a , b , c がいずれも５の倍数でないと仮定すると、
a ≡ ±1 , ±2（mod 5）より a2 ≡ 1 , 4 ≡ ±1 同様に b2 ≡ ±1 , c2 ≡ ±1
このとき a2＋b2 ≡ ±2 , 0 となり、これは a2＋b2 ≡ c2 に矛盾する。
よって、a , b , c のいずれかは５の倍数である。
(C) a , b , c がいずれも４の倍数でないと仮定すると、
(4n±1)2 ＝ 16n2±8n+1 ≡ 1（mod 8）
(4n+2)2 ＝ 16n2+16n+4 ≡ 4（mod 8）より
a2＋b2 ≡ 2 , 5 , 0 であり、c2 ≡ 1 , 4 であるが、これは a2＋b2 ≡ c2 に矛盾する。
よって、a , b , c のいずれかは４の倍数である。
※ 高校数学Ａの合同式を使った。
(C) では「mod 4」ではなく「mod 8」でやるのがミソ。
【定理２】
自然数 a , b , c が互いに素であり、かつ a2＋b2＝c2 を満たすとき、a , b , c の中に３の倍数・４の倍数・５の倍数がちょうど１つずつある。
また、このうち３の倍数は a , b のどちらかで、４の倍数は a , b のどちらかである。５の倍数は a , b に限らず、c の可能性もある。
【証明２】
(A') ┌ n ≡ 0（mod 3）のとき n2 ≡ 0 （← 3 で割り切れる数）
└ n ≡ ±1（ 〃 ）のとき n2 ≡ 1 （← 3 で割って 1 または 2 余る数）
a2＋b2 ≡ c2（mod 3）を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて、
(a , b , c) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) の場合で、このとき a2＋b2 ≡ c2 ≡ 1 となる。
よって、a , b のどちらか一方だけが３の倍数で、他２つは３の倍数でない。
(B') ┌ n ≡ 0（mod 5）のとき n2 ≡ 0 （← 5 で割り切れる数）
├ n ≡ ±1（ 〃 ）のとき n2 ≡ +1 （← 5 で割って 1 または 4 余る数）
└ n ≡ ±2（ 〃 ）のとき n2 ≡ 4 ≡ −1 （← 5 で割って 2 または 3 余る数）
a2＋b2 ≡ c2（mod 5）を満たすのは、(a , b , c) ≡ (0 , 0 , 0) を除いて、
(a2 , b2 , c2) ≡ (0 , ±1 , ±1) , (±1 , 0 , ±1) , (±1 , ∓1 , 0) のとき。（複号同順）
よって、a , b , c のうち１つだけが５の倍数で、他２つは５の倍数でない。
(C') ┌ (2n)2 ＝ 4n2 （← 偶数2 は４の倍数）
└ (2n+1)2 ＝ 4n2＋4n＋1 （← 奇数2 を４で割ると 1 余る）
a2＋b2 ＝ c2 を満たすのは「a , b , c がすべて偶数」の場合を除いて、
(a , b , c) ＝ (偶 , 奇 , 奇) , (奇 , 偶 , 奇) の場合。
すなわち、a , b のどちらか一方だけが偶数が、他２つは奇数である。
上記【証明１】の (C) と合わせて、
「a , b のどちらか一方だけが４の倍数で、他２つは４の倍数でない」ことがいえる。
※ (C') では、偶数と奇数に分けて考えた。つまり「mod 4」の問題を「mod 2」でやった。
その中で (C) を使ったが、(C) では「mod 4」の問題を「mod 8」でやった。
3 と 5 は素数だから良かったが、4 は合成数なので何かと工夫が要る。
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