円周率の大きさ（東大の入試問題より）

【問題】円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ。（2003年東大入試　前期理系にて出題）

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　高校範囲の余弦定理を使ったり、２重根号を外したりして解く方法があるが、以下では中学範囲だけで解く。

＜解１＞　半径 1 の円に内接する 正８角形 の１辺の長さを c とする。

　　　　上図より　c² ＝ (1/√2)²＋(1－1/√2)² ＝ 2－√2 ＞ 2－1.415 ＝ 0.585
　　　　　　　　　（∵ √2＜1.415　← これが怪しいというなら、両辺を２乗せよ）
　　　　よって、c ＞ √0.585 ＞ 0.764　（← これも両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　一方、上図において「円周の長さ ＞ 正８角形の周の長さ」だから　2π ＞ 8c
　　　　以上から、　π ＞ 4c ＞ 3.056 ＞ 3.05


＜解２＞　半径 1 の円に内接する 正12角形 の１辺の長さを c とする。

　　　　上図より　c² ＝ (1/2)²＋(1－√3/2)² ＝ 2－√3 ＞ 2－1.733 ＝ 0.267
　　　　　　　　　（∵ √3＜1.733　← これが怪しいというなら、両辺を２乗せよ）
　　　　よって、c ＞ √0.267 ＞ 0.516　（← これも両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　一方、上図において「円周の長さ ＞ 正12角形の周の長さ」だから　2π ＞ 12c
　　　　以上から、　π ＞ 6c ＞ 3.096 ＞ 3.05


＜解３＞　要は多角形の辺の数が多くなれば良いわけで、必ずしも正多角形である必要はない。
　　　　多分、次のやり方が、計算は最も楽。

　　　　上図のように原点中心 , 半径５の円上に  A(0 , 5) , B(3 , 4) , C(4 , 3) , D(5 , 0) をとる。
　　　　第 2 , 3 , 4 象限にも同じように点をとって、十二角形を考える。
　　　　AB＝CD＝√10 , BC＝√2 だから 十二角形の周の長さは 4(2√10＋√2)。
　　　　円周の長さは 10π である。
　　　　また、√10＞3.16　,　√2＞1.41　が成り立つ。（← 両辺を２乗すれば確認できる）
　　　　以上から、10π＞4(2√10＋√2)＞4×(2×3.16＋1.41) ＝30.92＞30.5
　　　　よって、π＞3.05 が成り立つ。

－　完　－