地球の裏側に最も速く行き着く方法（２）

　上の記事「地球の裏側に最も速く行き着く方法」で「地面に穴を掘って地球の裏側まで貫通させて、そこに飛び込んで自由落下すると 38分 で地球の裏側に到達する」ことを示しましたが、そこでは重力加速度を「地球の中心に到達するまでは −9.8m/s² で、中心を過ぎてからは +9.8m/s²」として計算しました。けれどもその計算は雑すぎるという意見もありますので、もう少し精度の高い計算をしてみます。

　重力加速度が −9.8 から +9.8 への変化をなめらかに変化するように、三角関数を使ってみます。前の記事の式より近似式になっているはずです。そうすると、

　　　s ＝ k cosωt　　　　　 （s ： 地球の中心からの距離）
　　　　↓微分　　↑積分
　　　v ＝ −kω sinωt　　　　（v ： 速さ）
　　　　↓微分　　↑積分
　　　a ＝ −kω² cosωt　　　（a ： 加速度　　いずれも上方向が正で、下方向が負）

となります。ここで k は地球の半径 6,400km＝6,400,000m です。ωは角速度です。また、kω² が地表での重力加速度 9.8m/s² となればよい。さらに、地球の裏側に到達する時間 t₁ は、地球半周分すなわち πラジアン だけ回ったときです。以上を式で表すと、

　　　k＝6,400,000　　　 ・・・ (1)
　　　kω²＝9.8≒10　　　 ・・・ (2)
　　　ωt₁＝π　　　　　　・・・ (3)

　さぁて準備は整いました。ここから一気に t₁ ならびに v₁ を求めましょう。

　　　(1),(2) より　1/ω²≒6,400,000÷10＝640,000　→　1/ω＝√640,000＝800
　　　(3) より 地球の裏側に到達する時間は　t₁＝π/ω＝3.14×800＝2512 秒≒ 42分
　　　地球の中心を通るときの速さ（最高速度）は　v₁＝−kωsinωt₁/2＝−kω＝−8,000m/s＝−28,800km/h

　前に出した数値とそれほど大きな差があるわけではありませんが、でもだいぶ精度が上がったはずです。

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