体積の求め方あれこれ

　積分して体積を求める方法にはいろいろあるが、高校数学の教科書に載っているのは「スライス積分」だけだ。それ以外に「タマネギ積分」というのもあって、球の表面積の公式を理解するには「タマネギ微分」が手っ取り早い。他には「バームクーヘン積分」というのもあって、回転体の体積を求めるのに使うとしばしば計算が楽になる。

　円の周の長さと円の面積は小学校で習い、球の表面積と球の体積は中学１年で習う。これらのうち円の周の長さの公式 L＝2πr は円の「定義」から明らかだが、円の面積公式と球の体積公式は本当は高校の「数学Ⅲ」で積分を習って初めて理解できるものである。球の表面積公式は高校数学の範囲を超えているが、上のタマネギ型の微分・積分でようやく理解できる。
　それはそうと、理系の受験生なら「バームクーヘン積分」は使えるようにしておきたい。