「最大の素数はない」のか？

【問】「最大の素数はない」ことを示そうとして、次のように論を進めた。

最大の素数があると仮定して、その数を N とする。
ここで N 以下のすべての素数の積に 1 を加えた数を M とする。
すなわち　M＝2×3×…×N＋1　である。
このとき M  ア  N である。
また、M を N 以下のどんな素数で割っても必ず  イ  余る。
よって、 M は素数である 。
しかし、これは「N が最大の素数である」ことに矛盾する。
以上から、背理法によって「最大の素数はない」ことが示された。//

(1)　 ア  に適切な不等号を、 イ  に適切な数を入れよ。

(2)　この証明が正しいなら「○」をかけ。不備があるなら下線部を書き変えて、正しい証明に直せ。

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　先日、数学の中間試験で出した１題。授業で「背理法」による証明問題を扱ったので、そこからの出題です。我ながら珠玉の１題だと思う。
　さて、出来栄えはと言うと、そんなに難しい問題だとは思わなかったのだが、高校２年文系129名のうち、全滅ではなかったものの、正答率は１％以下。ぜひ、みなさんも考えてみてください。
　ところで、もし「最大の素数はない」なら「素数は無数に存在する」ということになる。そして実は上の（正しく直した方の）証明は、古代ギリシャの時代にユークリッドが著した「ユークリッドの原論」に載っている。紀元前３世紀ごろの作である。

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【答】
(1)　ア  ＞ 　イ  1
(2)　M は素数 かまたは N より大きい素数で割り切れる。
　　　　　　　　　　　　　　　　└→　たとえば、2×3×5×7×11×13＋1＝30031＝59×509
　　（つまり、どっちにしても「N より大きい素数がある」ことになる）

結論を言わない証明問題