四角形の頂点からの距離の和が最小になる点はどこ？

【問】(1)　右の四角形ABCDにおいて、
　　　　　頂点 A , B , C , D からの距離の和 PA+PB+PC+PD
　　　　　が最小になるような点 P はどこにある？

　　(2)　(1) を証明して！

　　(3)　どんな四角形でも (1) が言えるかな？

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(1)　まず直感的に「対角線の交点じゃないか」と見当がつくだろう。

(2)　対角線 AC と BD の交点を P とする。
　　線分 AC 上の P 以外の点を P' とすると、PA+PC＝P'A+P'C　,　PB+PD＜P'B+P'D
　 　　　　　　より PA+PB+PC+PD＜P'A+P'B+P'C+P'D
　　線分 BD 上の P 以外の点を P'' とすると、PA+PC＜P'A+P'C　,　PB+PD＝P''B+P''D
　 　　　　　　より PA+PB+PC+PD＜P''A+P''B+P''C+P''D
　　それ以外の点、もちろん P 以外の点を P''' とすると、
　　　　　　　PA+PC＜P'''A+P'''C　,　PB+PD＜P'''B+P'''D
　 　　　　　　より PA+PB+PC+PD＜P'''A+P'''B+P'''C+P'''D
　　すなわち４頂点から P 以外の点までの距離の和は、４頂点から点 P までの距離の和より大きい。
　　よって、PA+PB+PC+PD が最小になるような点 P は対角線の交点である。//

(3)　凸四角形（４つの角がすべて180°より小さい四角形）なら「対角線の交点」で良いのだが、凹四角形（１つの角が180°より大きい四角形）だとそうはならない。
　右の凹四角形 ABCD の場合「４頂点からの距離の和が最小になる点」は C だと思うのだが、なかなかスッキリ納得できない。
　　それについて、いま考え中。。。

結論を言わない証明問題