相似な図形

【１】すべての放物線が相似であることを証明せよ。

【２】底の異なる２つの指数関数は相似なのかな？

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【１】

定理：すべての放物線は相似である。　

証明：すべての放物線は、回転・平行移動すれば y=ax² (a≠0) の形になる。（自明）
　　　放物線 y=ax² を原点を中心に a 倍に拡大・縮小すると放物線 y=x² になる。
　　　（∵ 放物線 y=ax² 上の点を (t , at²) とし、x 座標・y 座標をそれぞれ a 倍すると
　　　　　　　(at , a²t²) となり、放物線 y=x² の式を満たす）
　　　以上で、すべての放物線が相似である（つまり１つしかない！）ことが示された。//

【２】？？？（未解決）

　ちなみに楕円や双曲線は相似ではない。三角形や四角形など多角形も相似ではない。３次関数も４次関数もサインもコサインも相似ではない。（円どうしや正方形どうしは相似だが、それらは楕円や四角形の一部であって、楕円全体・四角形全体でみると相似ではないので、ここでは相似とみなさない）

　さて、ある種の図形がすべて相似だという例が他にあるかと考えると、直線だ。つまり放物線は直線と同じくらい基本的な図形なのである。