データの変換

＜実習５＞
　x の平均と標準偏差を求めよう。

得点 x	人数 f	u	uf	u2	u2f
100	2
75	3
50	2
25	1
0	2
計		／		／

＜mission 5＞
　変換して相関係数を求めるための公式を作り、それが正しいことを証明せよ。

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＜解説＞
　ここでは２つのことを学習します。１つは「分散と標準偏差を求めるための公式」、もう１つは「データを変換して平均値と標準偏差を求めるやり方」です。生徒に配布した教材プリントには、それらと合わせて、その証明も載せています。
　まず＜実習５＞で公式を確認しながら練習問題を３題やります。そのためにまずデータを変換します。下表のように変数 u の値を、およそ平均に近いと思われるところを 0 として、それより大きいものは +1 , +2 , … とし、小さいものは -1 , -2 , … とします。下表では u＝(x－50)／25 ⇔ x＝25u＋50 と変換したことになります。
　次に機械的に表を埋めます。

得点 x	人数 f	u	uf	u2	u2f
100	2	2	4	4	8
75	3	1	3	1	3
50	2	0	0	0	0
25	1	−1	−1	1	1
0	2	−2	−4	4	8
計	10	／	2	／	20

表から、

• m(u)＝2／10＝0.2
• m(u²)＝20／10＝2

そして公式を使って、

• s_u＝√2-0.2²＝√1.96＝1.4

となります。さらに公式を使って、

• xの平均は　m(x)＝25m(u)＋50＝25×0.2＋50＝55点
• 標準偏差は　s_x＝25s_u＝25×1.4＝35点

です。データ数が多いときなど、変換が効果的に使えますので、使いこなしましょう。

　続いて＜mission 5＞。生徒たちは「与えられた公式を証明する」のには慣れていますが、「公式を作れ」と言われると困ってしまうようです。
　＜実習２＞で定義に従って標準偏差と相関係数を求め、＜実習５＞で変換して標準偏差を求めることをやったのですから、２つ合わせて考えれば「変換して相関係数を求める方法」が気になるんじゃないかと思うのですが、いかがでしょうか。その公式は高校数学では出てきませんが、これまでやったことから推測できるんじゃないでしょうか。でも、推測だけじゃ心許ないので、証明もお願いします。

　では、答えです。この場合、変数 x,y を変換したものを u,v として、x,y の相関係数をr_x,y ，u,vの相関係数をr_u,v とすると「r_x,y＝r_u,v」が成り立ちます。つまり「変換しても相関係数は変わらない」ということです。そのことを踏まえると、データの値をうまく変換して計算することの効果は大きいですね。ここでは証明は省略します。