正多面体つながり

【問】次の空欄  ア  ,  ウ  ,  オ  に 自然数 を、 イ  ,  エ  ,  カ  に 分数 を入れなさい。

　１辺の長さが1 cm の立方体の頂点のうち、隣り合わない（辺で直接結ばれていない）頂点４つをつないでできる立体は正  ア  面体で、その体積は  イ  cm³ である。
　次に、その正  ア  面体の各辺の中点をつないでできる立体は正  ウ  面体で、その体積は  エ  cm³ である。
　さらに、その正  ウ  面体の各面の中心（重心）をつないでできる立体は正  オ  面体で、その体積は  カ  cm³ である。

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《解説＆解答》
　　　ア　正 ４ 面体　　　　　ウ　正 ８ 面体　　　　　オ　正 ６ 面体　

アの体積は、元の立方体から切り落とす４つの三角すいの体積を引いて、
　　　　1－1/6×4 ＝ 1/3 cm³　・・・ イ
ウの体積は、２つの四角すいに分けて考えて、
　　　　底面積1/2×高さ1/2 ÷３×２つ分 ＝ 1/6 cm³　・・・ エ
オの体積は、元の立方体との相似比が 1：3（上右の投影図参照）だから、
　　　 (1/3)³ ＝ 1/27 cm³　・・・ カ