不思議の国の論理学

「不思議の国のアリスの著者ルイス・キャロルは大学で数学を教える数学者でした。彼の著作には論理学を話題にしたものがいくつかあります。１つ紹介しましょう。

　アンクル・トムとアンクル・ジョーが床屋に行こうとしています。床屋にはカーとアレンとブラウンの３人の店員がいます。３人のうち腕が確かなのはカーだけなので、アンクル・トムとアンクル・ジョーはカーが店にいることを期待しています。
　アンクル・ジョーが言います。「カーが外出しているなら、もしアレンもまた外出しているとすれば、ブラウンは店にいる (A)」と。アンクル・トムもそれを認めました。それを認めなければ、店に店員が誰もいなくなってしまうからです。
　アンクル・ジョーが続けます。「アレンが外出しているなら、ブラウンは外出している (B)」と。 アンクル・トムはそれも認めました。アレンは体をこわしていて、一人で外出するのが難しいからです。
　さて、以上のことからアンクル・ジョーは「カーは店にいる (C)」と結論づけました。アンクル・ジョーの考え方は「もしカーが外出しているなら、『アレンが外出しているなら、ブラウンは店にいる』と『アレンが外出しているなら、ブラウンは外出している』が同時に成り立たなければならないことになるが、これは矛盾である」ということです。そして背理法を使って「カーは店にいる」と主張したわけです。
　アンクル・トムは反論しました。アンクル・トムは、２つの仮定を認めたとして、そこから導けることは「カーとアレンが両方いっしょに外出することはありえない (D)」ということであって、「カーが店にいる」という結論にはならないと主張しました。
　さて、アンクル・トムとアンクル・ジョーの議論はどちらが正しいのでしょうか？　どちらが間違っているのでしょうか？

では、ここで 【問題】です。上の文章から条件 P , Q , R  を設定し、前提 (A) と (B) ならびにアンクル・ジョーの結論 (C) とアンクル・トムの結論 (D) を論理式で表し、真理表を作って、２人の導出の正誤を判断しなさい。

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《解答例 》

Ｐ　：　　　カーが外出している　　　　
Ｑ　：　　　アレンが外出している　　　　
Ｒ　：　　　ブラウンが外出している　　　　とすると、　
前提 (A)：　　Ｐ ⇒ （Ｑ ⇒ ￢Ｒ）　　　
前提 (B)：　　Ｑ ⇒ Ｒ　　　　　　　 　　
アンクル・ジョーの結論 (C)　：　　 　￢Ｐ　　　　　　　　 　
アンクル・トムの結論 (D)　　 ：　　　￢（Ｐ∧Ｑ）　　　　　　となる。　

※ 文章全体をよく読めば、前提 (A) は 　Ｐ ⇒ （Ｑ ⇒ ￢Ｒ） となるはずなのだが、
　　下線部 (A) だけからは 　　Ｐ∧Ｑ ⇒ ￢Ｒ　　 と読めなくもない。
　　だから、それも良しとしよう。その場合も導出の正誤は上と同じになる。