起業するなら誰と組むか、どう分けるか？（慶応大の入試問題より）

（慶應大学・環境情報学部入試2017「数学」より）

　Ａ氏、Ｂ氏、Ｃ氏が起業したいと思っているが、１人では不可能で、最低でも２人が組む必要があるとする。３人が組めば72億円の利益が見込め、Ａ氏とＢ氏が組めば50億円、Ａ氏とＣ氏が組めば32億円、Ｂ氏とＣ氏が組めば20億円の利益が見込めるとする。いま、３人が組んで企業した結果72億円の利益が得られたとき、その分配について考える。以下では、Ａ氏、Ｂ氏、Ｃ氏のそれぞれの分配金を x , y , z で表す。

(1)　３人で組んだ場合に、２人で組んだ場合以上の利益の分配を、それぞれが要求すると、

x , y , z ≧0　　……①
x＋y＋z＝72　……②
x＋y≧50　　　……③
x＋z≧32　　　……④
y＋z≧20　　　……⑤　　（単位：億円）

となる。ここで、②は３人の分配額の合計が得られた利益の72億円になることを表し、③はＡ氏とＢ氏の分配金の合計は２人が組んだ場合に見込める利益の50億円以上になることを両氏が要求することを表し、④はＡ氏とＣ氏の分配金の合計は２人が組んだ場合に見込める利益の32億円以上になることを両氏が要求することを表し、⑤はＢ氏とＣ氏の分配金の合計は２人が組んだ場合に見込める利益の20億円以上になることを両氏が要求することを表している。
　これらの条件を満たす各人の分配額の中で、Ａ氏の分配額が最小となる分配額の組み合わせは、x＝□□ , y＝□□ , z＝□□ である。（単位：億円）

(2)　次に、(1)の条件のうち③～⑤を仮定せず、①と②のみを仮定すると、

x , y , z≧0　　……①
x＋y＋z＝72　……②　　（単位：億円）

となる。ここで、50－(x＋y) をＡ , Ｂ両氏の不満、32－(x＋z) をＡ , Ｃ両氏の不満、20－(y＋z) をＢ , Ｃ両氏の不満、－x をＡ氏の不満、－y をＢ氏の不満、－z をＣ氏の不満と定義し、これらを小さくする分配を考える。このように不満を定義した理由は、Ａ氏とＢ氏が組めば50億円の利益を見込めたのであるから、分配額との差 50－(x＋y) が大きいほどＡＢ両氏のいわゆる不満は大きいと考えたからである。ＡＣ両氏の不満、ＢＣ両氏の不満についても同様である。また、Ａ氏の不満を －x としたのは、Ａ氏の分配が大きいほどいわゆる不満は小さくなると考えたからである。Ｂ氏の不満、Ｃ氏の不満についても同様である。なお、不満は負の値になることもあることに注意すること。
　いま、これらの不満の最大値をＭとすると、明らかにＡＢ両氏の不満、ＡＣ両氏の不満、ＢＣ両氏の不満、Ａ氏の不満、Ｂ氏の不満、Ｃ氏の不満はいずれもＭ以下となる。この時、Ｍを最小化する z の値は□□であり、x の範囲は □□≦x≦□□ となる。（単位：億円）

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《答え》
(1)　x＝10 , y＝40 , z＝22
(2)　z＝11 , 32≦x≦41