一橋大2016（データ分析）

　2016年度大学入試は、数学のカリキュラムに「データ分析」が入ってから２回目の大学入試だった。2015年度に続いて一橋大学の入学試験でデータ分析の問題が出た。前年と同じく選択問題として出されて「ベクトル」か「データ分析」のどちらかを選ぶ形だった。

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（一橋大 2016）

x は 0 以上の整数である。次の表は２つの科目 X と Y の試験を受けた５人の得点をまとめたものである。

	①	②	③	④	⑤
科目 X の得点	x	6	4	7	4
科目 Y の得点	9	7	5	10	9

(1)　2n 個の実数 a₁ , a₂ , ... , a_n , b₁ , b₂ , ... , b_n について、
　　 a＝1/nΣa_k , b＝1/nΣb_k とすると、
　　　　　　　　Σ(a_k－a)(b_k－b)＝Σa_kb_k－nab
　　 が成り立つことを示せ。
　　（※ Σa_k は「k が 1 から n まで変わるときの a_k の和」を表す）

(2)　科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数 r_XY を x で表せ。

(3)　x の値を 2 増やして r_XY を計算しても値は同じであった。
　　 このとき、r_XY の値を四捨五入して小数第１位まで求めよ。

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《解説・解答 》
(1)　左辺＝Σ(a_k－a)(b_k－b)
　　　　 ＝Σ(a_kb_k－a・b_k－b・a_k＋ab)
　　　　 ＝Σa_kb_k－aΣb_k－bΣa_k＋nab
　　　　 ＝Σa_kb_k－nab－nab＋nab
　　　　 ＝Σa_kb_k－nab＝右辺

(2)　(1) の右辺の値を表をもとに計算すると、(9x+168)－5・(x+21)/5・8＝x
　　 一方、(1) の左辺を n で割ったものが共分散だから、X と Y の共分散 s_XY＝x/5
　　 また、X の分散は　(x²+117)／5－{(x+21)／5}²　だから、
　　　　　　　X の標準偏差 s_X＝√(4x²－42x＋144)／5
　　　　　Y の分散は　16／5　だから、Y の標準偏差 s_Y＝4／√5
　　 以上から、X と Y の相関係数は
　　　　　r_XY＝ s_XY／ s_X・s_Y＝√5・x／4√(4x²－42x＋144)
　　　　　　　　　　　　　　 ＝√10/8・ｘ／√(2x²－21x＋72) ・・・(A)

(3)　X の値を 2 増やしたとき、また一から計算しなおすと、
　　 X と Y の共分散は s_XY＝(x+2)/5
　　 X の標準偏差は s_X＝√(4x²－26x＋76)／5
　　 Y の標準偏差は（上と同じで） s_Y＝4／√5
　　 X と Y の相関係数は r_XY＝√10/8・(ｘ+2)／√(2x²－13x＋38) ・・・(B)
　　 (A)＝(B) を解いて、x＝6
　　 (A) または (B) に戻して、 rXY＝√5／4≒0.559　　　∴  0.6

※　(2) と (3) の計算がわずらわしい。なかなか合わなかった。。。