グー・パーじゃんけんをゲーム理論で解く

　以前の記事「グー・パーじゃんけんで勝負する」の補足説明です。

【問】Ａ君とＢ君がグー・パーだけを出してじゃんけんする。チョキは出さない。
　　このとき、次のように勝ち負けが決まる。

• 両者が同じ手ならＢ君の勝ち。グー・グーなら６点、パー・パーなら１点をＢ君が得る。
• 両者が違う手ならＡ君の勝ち。このときＡ君は３点を得る。

さて、この勝負、Ａ君とＢ君ではどちらが有利か？

---

◇　Ａ君もＢ君もグーとパーを同じ割合で（それぞれ 1/2 の確率で）出すとするなら、Ａ君の得点の期待値は

－6×1/4－1×1/4＋3×1/2 ＝ －1/4

となって、Ａ君が不利で、Ｂ君が有利ということになる。

　ところが、である。Ａ君は何もグーとパーを同じ割合で出さなきゃいけないわけではないのだから、もっと違う割合で出すことにすれば、Ａ君の方が有利になるのである。結論を言ってしまうと、

◇　Ａ君がグーとパーを 4：9 の割合で出せばいい。
Ｂ君がグーを出す確率を p ，パーを出す確率を 1－p として、Ａ君の得点の期待値を計算してみると、

－6×4/13×p＋3×4/13×(1－p)＋3×9/13×p－1×9/13×(1－p)＝ (－24p＋12－12p＋27p－9＋9p)/13 ＝ ＋3/13

見ての通り、p の値に関わらず、Ａ君の得点の期待値はプラスになる。つまり「Ｂ君がグーとパーをどのように出そうが、Ａ君が有利になる」ということだ。

　ところで、Ａ君がグーとパーを出すときの理想的な割合は、どうすれば見つけられるか？　そのためには下表を書けば良いのである。

		Ｂ
		グー	パー	差	逆比	加重平均
Ａ	グー	-6	3	9	4	3/13
	パー	3	-1	4	9

　なぜこれでうまく行くのかは、別記事を当たってくれ。これ とか  あれ とか それ など。
　ゲーム理論の全体像は こちら をどうぞ。