補助金と満足度の費用対効果

　現実社会のお金の動きを数式でモデル化して、数学の技能でシミュレーションする問題。数学の内容としては「２次関数の最大値」を求める問題だから、数学の難易度としては基本問題である。大学入試の過去問から探して、高校２年の定期試験で出題した。

---

（立命館大2013）

【問題】太郎は、商品Aを x dl （デシリットル）、商品Bを y dl 購入することによって、

u＝xy　（x≧0 , y≧0）

で表される心理的な満足度 u を得る。太郎の所持金は2400円、商品A , 商品Bの単価（1dl あたりの価格）はそれぞれ400円 , 100円である。このとき、次の問いに答えよ。

(1)　太郎が所持金2400円を全て使い切るとき、x と y について、y＝− ネ x＋ ノ 　という関係式が成り立ち、u が最大になるのは、x＝  ハ  のときである。

(2)　太郎が商品Aを購入するとき、1dl あたり100円の補助金を受け取ることができるとする。太郎が補助金を含めた全額を全て使い切るとき、x と y について、 y＝− ヒ x＋ フ  という関係式が成り立つ。このとき、u が最大になるのは、x＝  ヘ  のときであり、太郎が受け取る補助金の総額は、 ホ  円である。

(3)　太郎が商品Aを購入するとき補助金を受け取らないとする。(2)の場合に太郎が受け取る補助金の総額  ホ  円に等しい金額を太郎に所持金として与えて、太郎の所持金を（2400＋ ホ ）円に増やし使い切るとき、u が最大になるのは、x＝  マ  のときである。また、このときの u の最大値は、(2)の場合の u の最大値よりも、 ミ  だけ大きい。

---

《解答》
(1)　400x＋100y＝2400　より　y＝− 4 x＋ 24
　　 u＝xy＝−4x²+24x＝−4x(x－6)　より　x＝ 3 で最大となる。
(2)　（400－100）x＋100y＝2400　より　y＝− 3 x＋ 24
　　 u＝xy＝−3x²+24x＝−3x(x－8)　より　x＝ 4 で最大となる。
　　 このとき、補助金は 400 円。
　　 また、このときの 満足度は u＝48 である。
(3)　400x＋100y＝2400＋400　より　y＝−4x＋28
　　 u＝xy＝−4x²+28x＝−4x(x－7)　より　x＝ 3.5 で最大となる。
　　 このときの 満足度は u＝49 で、これは(2)の場合の満足度より 1 だけ大きい。