オークションにもいろいろある

　オークションには主に４種類あります。

◇　イングリッシュ・オークション
　　参加者が一堂に会して、マグロの競りのように「価格が吊り上がっていく」もの。
◇　ダッチ・オークション
　　参加者が一堂に会して、バナナの叩き売りのように「価格が下がっていく」もの。
◇　ファースト・プライス・オークション
　　事前に入札して、「最高値で入札した人に、その価格で売る」もの。
◇　セカンド・プライス・オークション
　　事前に入札して、「最高値で入札した人に、２番目に高い入札額で売る」もの。

　いずれも「買い手を決める」オークションですが、自治体が行う競争入札のように売り手を決める「逆オークション」もあります。また、株式市場のように売り手と買い手の双方が価格を提示する「ダブル・オークション」もあります。
　ここで ファースト・プライス・オークション と セカンド・プライス・オークション を比べてみましょう。

【問題】ある品物がオークションに出品されました。あなたにとってその品物には100円の価値があります。すなわち、あなたが x 円で落札した場合、あなたは 100－x 円の利益を得ることになります。ですから、あなたはなるべく安い価格で応札したい。その方が利益が増えるからです。また、このとき、もちろん x≦100 です。なぜなら、100円より高い金額で応札すると、あなたは損してしまうからです。
　いま、あなた以外にもう一人だけ入札者がいて、彼は1円から200円までの200通りの金額それぞれ同じ確率（200分の1の確率）で入札するものと仮定します。また、計算を簡単にするために、二人が同じ金額を入札したときは、あなたが落札するものとします。
　さて、あなたはいくらで入札したらいいでしょうか。ファースト・プライス・オークションの場合とセカンド・プライス・オークションの場合のそれぞれについて、あなたが x 円で入札した場合のあなたの利益の期待値 E(x) を計算して、期待値が最大になるときの x の値を求めてみましょう。その値が、あなたが入札するべき金額です。

(1)　まず、ファースト・プライス・オークションの場合。あなたが x 円で入札したとき、あなたが落札する確率（相手の入札額があなたの入札額以下である確率）は ＿＿＿＿＿ で、そのときの利益は ＿＿＿＿＿ 円です。ですから、あなたが x 円で入札したときの利益の期待値 E(x) は ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　円となり、E(x) は x＝ ＿＿＿ で最大値 ＿＿＿ 円をとります。

(2)　次に、セカンド・プライス・オークションの場合。あなたが x 円で入札したときの利益の期待値 E(x) を求め、E(x) が最大になるときの x の値を求めてください。ただし、x は自然数とします。

(3)　以下の〔 〕の中から、ファースト・プライス・オークション（Ｆ）、セカンド・プライス・オークション（Ｓ）、イングリッシュ・オークション（Ｅ）、ダッチ・オークション（Ｄ）のいずれかを選んで、文章を完成させてください。

　(1) と (2) の結果から、「相手の入札額にかかわらず、自分の評価額で入札した方が良い」のは 〔Ｆ，Ｓ〕 である。一方、〔Ｆ，Ｓ〕 では「相手の入札額がわからないと、自分の入札額を合理的に決めにくい」。
　また、入札する人の評価額があらかじめ決まっているとすると、イングリッシュ・オークション（Ｅ） と ダッチ・オークション（Ｄ）のうち「２番目に高い評価額の近くで価格が決まる」のは 〔Ｅ，Ｄ〕 である。一方、「相手の評価額がわからないと、どのタイミングで買ったらいいのかわからない」のは 〔Ｅ，Ｄ〕 である。
　そのことを考えると、、ファースト・プライス・オークション（Ｆ） と同じような結果になるのは 〔Ｅ，Ｄ〕 であり、セカンド・プライス・オークション（Ｓ） と同じような結果になるのは 〔Ｅ，Ｄ〕だと言える。

---

　東大の入試問題（2010後期）をアレンジして、もう少し簡単で分かりやすいであろう問題を作ってみました。答えは、以下の通りです。

(1)　まず、ファースト・プライス・オークションの場合。あなたが x 円で入札したとき、あなたが落札する確率（相手の入札額があなたの入札額以下である確率）は x／200 で、そのときの利益は (100－x) 円です。ですから、あなたが x 円で入札したときの利益の期待値 E(x) は E(x)＝x／200 × (100－x)　円となり、E(x) は x＝ 50 で最大値 12.5 円をとります。

(2)　次に、セカンド・プライス・オークションの場合。あなたが掲示した額が最高値 x 円であった場合、相手が提示した金額 y 円 （x ≧ y）が買い値になりますから、計算は多少複雑になります。たとえば、相手が提示した金額が 1 円である確率は 1/200 で、そのときのあなたの利益は 100－1＝99 円です。…あるいは、相手が提示した金額が x 円である確率は 1/200 で、そのときのあなたの利益は (100－x) 円です。そのことからあなたが x 円で入札したときの利益の期待値 E(x) は
E(x)＝1/200・（100－1）＋…＋1/200・（100－x）＝x／200×{100－(x＋1)／2}
円となります。x を自然数とすると、この式は x＝ 99 または x＝ 100 で最大値 24.75 円をとります。

(3)　(1)と(2)の結果から、「相手の入札額にかかわらず、自分の評価額で入札した方が良い」のは セカンド・プライス・オークション（Ｓ）である。一方、ファースト・プライス・オークション（Ｆ）では「相手の入札額がわからないと、自分の入札額を合理的に決めにくい」。
　また、入札する人の評価額があらかじめ決まっているとすると、「２番目に高い評価額の近くで価格が決まる」のは イングリッシュ・オークション（Ｅ）である。一方、「相手の評価額がわからないと、どのタイミングで買ったらいいのかわからない」のはダッチ・オークション（Ｄ）である。
　そのことを考えると、ファースト・プライス・オークション（Ｆ） と同じような結果になるのは ダッチ・オークション（Ｄ）であり、セカンド・プライス・オークション（Ｓ） と同じような結果になるのは イングリッシュ・オークション（Ｅ）だと言える。

　以上まとめると、ファースト・プライス・オークション（Ｆ）や ダッチ・オークション（Ｄ）では 「他の入札者と駆け引きしながら動かなければならない」 が、セカンド・プライス・オークション（Ｓ）や イングリッシュ・オークション（Ｅ）では 「他の入札者の動向とは無関係に入札できる」 ということです。 あなたはどのオークションに参加したいですか？