競売の種類（東大の入試問題より）

東大後期・総合科目Ⅱ2010より

　数学的な方法は、社会における最適な駆動の選択においても重要な役割を果たす。この問題では、土地の競売、商品の輸送というふたつの商業活動における問題を考える。

Ａ　ある駅前の土地が競売に売り出されることになった。競売の方法には様々な種類がある。

（Ａ－１）　買い手は自分の買い値を紙に記入して、それを秘密にしたまま、入札箱に投入するものとする。買い手が入札を終えた後、売り手は入札箱を開けて、一番高い買い値をつけた買い手に、その人がつけた買い値でこの土地を売ることにする。一番高い買い値をつけた買い手が複数いる場合は、その中から公平なくじ引きで選ばれた一人に売ることにする。
　Ａ氏は、この土地を用いた事業を行うことで a 億円の利益が得られるとする。つまり、競売に参加して x 億円で土地を買うことができたとすると、Ａ氏の利益は a－x 億円になる。土地を買えなかった場合は、事業の利益も土地の購入代も発生しないので、Ａ氏の利益は 0 円と考える。a は 2 から 10 までのある整数であるとする。
　この競売にＡ氏の他にもう一人の買い手（Ｂ氏）が参加しているとする。買い値は、1億円単位でつけなければならないものとする。Ｂ氏のつける買い値を y 億円とし、y は 1 から 10 までの整数を等しい確率でとるものとする。
　利益の期待値を最大にするためには、Ａ氏はいくらの買い値をつければ良いか、a を用いて表せ。

（Ａ－２）　今後は、違った競売の方法を考える。（Ａ－１）と同様に、買い手は自分の買い値を紙に記入して、それを秘密にしたまま、入札箱に投入する。買い手が入札を終えた後、売り手は入札箱を開けて、一番高い買い値をつけた買い手に、二番目に高い買い値で売ることにする。一番高い買い値をつけた買い手が複数いる場合は、「二番目に高い買い値」は一番高い買い値と同じであることにし、その中から公平なくじ引きで選ばれた一人に売ることにする。
　入札はＡ氏とＢ氏の二人で行うものとし、買い値は1億円単位でつけなければならないものとする。Ｂ氏の買い値を y 億円とするとき、y は 1 から 10 までのいずれかの整数であるとし、それぞれの値をとる確率は p_y であるとする。ただし、p_y＞0 （y＝1,2,…,10） , p₁＋p₂＋…＋p₁₀＝1 である。利益の期待値を最大にするためには、Ａ氏はいくらの買い値をつければ良いか、a を用いて表せ。

Ｂ　（商品の輸送に関する問題　…　省略）

---

《答え》
（Ａ－１）
Ａ氏が x 億円で競り落とす確率は (x－1)／10＋1／2×1／10、そのときの利益は a－x 億円。
この２つの積が期待値で、平方完成して、答えは、

a が偶数のとき　a／2 億円、　a が奇数のとき　（a＋1）／2 億円

となる。

（Ａ－２）
答えを先に言うと、利益の期待値が最も大きくなるのは、a 億円で入札したときである。
すなわち、Ａ氏が評価したのと同額で入札するのが最も得である。説明しよう。
x 億円で入札したときの利益の期待値を E(x) とすると、（ただし x ≦ a ）
E(x)－E(x－1)＝(a－x)p_x／2+(a－x＋1)p_x－1／2＞0　となるからである。