慶応SFC2018より「確率分布」の問題

　高校の「数学B」に「確率分布」が入っていますが、大学入試でその分野を出題するのは慶應大学SFC（総合政策学部・環境情報学部）くらいです。2018年度入試で出題されました。

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慶應大学総合政策学部2018（数学）より

　以下の３種類のコインを使って、景気の動向が企業の将来の利益に与える影響を考える。

• コインA：表の出る確率が 1/2、裏の出る確率が 1/2 のコイン
• コインB：表の出る確率が 5/8、裏の出る確率が 3/8 のコイン
• コインC：表の出る確率が 1/4、裏の出る確率が 3/4 のコイン

コインAは、表が出れば景気が良い状態をあらわし、裏が出れば景気が悪い状態をあらわす。コインBとコインCはそれぞれ、景気が良い状態及び悪い状態のときの企業の利益に対応し、表が出れば企業の１年間の利益が１億円出ることをあらわし、裏が出れば利益が出ないことをあらわす。　

(1)　来年の景気は良くなるが再来年の景気は悪くなるというシナリオ１を考える。来年の利益を X₁ 億円、再来年の利益を X₂ 億円とするとき、X₁ と X₂ の動きは、コインBを１回投げ、続いてコインCを１回投げることによってあらわすことができる。来年と再来年の利益の和 S₁＝X₁＋X2 の期待値 m₁ は □□／□□ となる。

(2)　S₁ が期待値 m₁ から離れる度合いである S₁ の分散は、Z₁ ＝(S₁－m₁)² の期待値によってあらわすことができる。Z₁ の期待値は □□／□□ である。

(3)　来年と再来年の２年間の景気は、良くなり続けるか悪くなり続けるかのどちらかであるが、そのどちらかは分からないというシナリオ２を考える。２年間の利益の動きは、まずコインAを投げ来年と再来年の景気がどうなるかを決め、その結果が表ならばコインBを２回、裏ならばコインCを２回投げることによってあらわすことができる。このシナリオにおける来年の利益を Y₁ 億円、再来年の利益を Y₂ 億円とするとき、このシナリオ２における来年と再来年の利益の和 S₂＝Y₁＋Y₂ の期待値 m₂ は、シナリオ１の期待値 m₁ と等しい。S₂ の分散は、Z₂ ＝(S₂－m₂)² の期待値であり、その値は □□／□□ である。

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　期待値やら分散やらが分かっていないと、というより期待値やら分散やらを使った経験が少ないと、この問題の意味がつかめないんじゃないかな。

《答》は、
(1)　《解１》
　　E(S₁)＝E(X₁＋X₂)＝5/8×1/4×２＋(5/8×3/4＋3/8×1/4)×１＋3/8×3/4×０＝7/8
　　 《解２》
　　E(X₁)＝5/8×1＋3/8×0＝5/8　　E(X₂)＝1/4×1＋3/4×0＝1/4
　　 より　E(S₁)＝E(X₁＋X₂)＝E(X₁)＋E(X₂)＝7/8　　　　　※ 07/08 とマークする。

(2)　E(Z₁)＝V(S₁)
　　 《解１》
　　E(Z₁)＝(2－7/8)²×5/32＋(1－7/8)²×18/32＋(0－7/8)²×9/32＝27/64
　　 《解２》
　　V(X₁)＝(1－5/8)²×5/8＋(0－5/8)²×3/8＝15/64
　　V(X₂)＝(1－1/4)²×1/4＋(0－1/4)²×3/4＝3/16
　　より　V(S₁)＝V(X₁＋X₂)＝V(X₁)＋V(X₂)＝15/64＋3/16＝27/64

(3)　コインAが表の場合
　　e₁＝(2－7/8)²×25/64＋(1－7/8)²×30/64＋(0－7/8)²×9/64＝39/64
　　 コインAが裏の場合
　　e₂＝(2－7/8)²×1/16＋(1－7/8)²×6/16＋(0－7/8)²×9/16＝33/64
　　より　V(S₂)＝V(Y₁＋Y₂)＝e₁×1/2＋e2₂×1/2＝9/16