円に内接する四角形 ABCD がある。対角線 AC と BD の交点を E とする。
AC=BD のとき、△ABE≡△DCE は成り立つか？
※ 「成り立つ」と言うなら、証明してね。
「成り立たない」と言うなら、反例を挙げて。
∠ABE＝∠DCE（弧ADの円周角）
∠BAE＝∠CDE（弧BCの円周角）
∠AEB＝∠DEC（対頂角） から 相似 △ABE∽△DCE（２角相等）はすぐ言える。
けれども、そこからが難しい。
対応する辺（AB と DC、AE と DE、BE と CE）のいずれかが１つでも等しいと言えれば 合同 △ABE≡△DCE（１辺両端角相等）とわかるのだが、さて、どうしようか。
ところで、本当に「△ABE≡△DCE」なのだろうか。反例はあるのだろうか。
何はともあれ、証明を目指してみよう。
＜証明１＞
AC＝DB より AE＝DE , BE＝CE
└──→──┴─→─┘？
また ∠AEC＝∠DEC（対頂角）
２辺とその間の角が等しいから △ABE≡△DCE
＜証明２＞
∠BAC＝∠BDC より 四角形ABCDは円に内接する。
AC＝DB より ∠ABC＝∠DCB（等しい長さの弦に対する円周角？）
└───→───┘？
BC は共通だから １辺両端角相等により △ABC≡△DCB
よって AB＝DC １辺両端角相等により △ABE≡△DCE
＜証明３＞
AC と DB の交点を F とする。 ← そもそも交わるのか？
∠FAC＝∠FDB（∠BAC＝∠BDC の補角）
∠ACF＝∠DBF（△ABEと△DCE において他の２角が等しいから）
１辺とその両端の角が等しいから △FDB≡△FAC
よって FB＝FC , FD＝FA よって AB＝DC
１辺とその両端の角が等しいから △ABE≡△DCE
再び相似に戻って「方べきの定理」を使ってみると、AC＝DB＝1 としても一般性を失わないから
AE＝a , DE＝b とおいて CE＝1−a , BE＝1−b だから
a(1−a)＝b(1−b)（方べきの定理）
⇔ a−a2＝b−b2
⇔ a−b−a2＋b2＝0
⇔ (a−b)−(a＋b)(a−b)＝0
⇔ (a−b)(1−a−b)＝0
⇔ a＝b または a＋b＝1
（ⅰ）a＝b のときは「△ABE≡△DCE」が成り立つ。
けれども（ⅱ）a＋b＝1 のとき、
CE＝1−a＝b , BE＝1−b＝a となって、
この場合は「△ABE≡△DCE」は成り立たない。
これが「反例」（右図）である。
すなわち「AC=BD のとき、△ABE≡△DCE」は成り立たない。
つまり、こういうことだ。
「円に内接し、かつ対角線の長さが等しい四角形」は「等脚台形」になる。
等脚台形を２本の対角線で切ってできる４つの三角形のうち、下左図の２つの三角形は合同である。一方、下右図の２つの三角形は相似な二等辺三角形ではあるが、合同ではない。（これが反例にあたる）
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