３項定理（練習問題付き）

　　　　　　　　　　〜２項定理〜
○　　(a＋b)ⁿ の展開式の a^n－r b^r の係数は _nC_r　　（ただし、r＝0 , 1 , 2, … , n）
○　　(a＋b)ⁿ の展開式の a^p b^q の係数は n!／p! q!　　（ただし、p＋q＝n）
上の２つは同じこと。下の数え方は、
 　　a を p 個と b を q 個、あわせて n 個を一列に並べる場合の数は、
 　　まず便宜的に n 個すべてが異なるものとして数えると n! 通り。
　　けれどもこれでは同じものを重複して数えたことになる。重複した回数は、
　　　　p 個の a の入れ替えを考えると、同じものを p! 通りずつ重複して数えたことになる。
 　　　　また、q 個の b の入れ替えを考えると、同じものを b! 通りずつ重複して数えたことになる。
 　　したがって、重複した分を調整すると「a を p 個と b を q 個を一列に並べる」場合の数は n!／p! q! 通り。
 　　これが (a＋b)ⁿ の展開式の a^p b^q の係数である。

 　　この数え方を高校数学Ａの教科書では「同じものを含む順列」と呼んでいる。２項定理なら組み合わせ _nC_r の方がわかりやすいが、次（↓）のことを考えるには、その数え方をした方が良い。

 　　　　　　　　　　〜３項定理〜
 ○　　(a＋b＋c)ⁿ の展開式の a^p b^q c^r の係数は n!／p! q! r!　　（ただし、p＋q＋r＝n）
　　　（a を p 個 , b を q 個 , c を r 個、あわせて n 個を一列に並べる場合の数 ： 同じものを含む順列）
○　　(a＋b＋c)ⁿ の一般項は n!／p! q! r! ・a^p b^q c^r 　　（ただし、p＋q＋r＝n）

 　このように考えれば、項が４つになっても、５つになっても同じように表現できる。

 　　　　　　　　　　〜多項定理〜
○　　(a＋b＋c＋d＋ … )ⁿ の展開式の a^p b^q c^r d^s … の係数は n!／p! q! r! s! … 　　（ただし、p＋q＋r＋s＋…＝ n）

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【問】
(1)　(a＋b＋c)⁸ の展開式の a² b³ c³ の係数は？

(2)　(a＋2b－3c)⁷ の展開式の a⁴ b² c の係数は？

(3)　(x² －3x＋1)⁵ の展開式の x³ の係数は？

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《答》
(1)　8!／2! 3! 3! ＝ 8・7・6・5・4・3・2・1／2・1・3・2・1・3・2・1 ＝ 1120

(2)　7!／4! 2! 1! ・a⁴ (2b)² (－3c)¹ ＝ 7!／4! 2! 1! ・2² (－3)・a⁴ b² c ＝ －1260 a⁴ b² c

(3)　一般項は 5!／p! q! r! ・(x² )^p (－3x)^q 1^r 　（ただし、p＋q＋r＝5）
 　　　　　＝ 5!／p! q! r! (－3)^q ・x^2p x^q 
　　　　　＝ 5!／p! q! r! (－3)^q ・x^2p＋q … （※）
 　　2p＋q＝3 のとき　(p , q , r)＝(1 , 1 , 3) , (0 , 3 , 2)
　　(p , q , r)＝(1 , 1 , 3) を（※）に代入すると　5!／1! 1! 3! (－3)¹ ・x³ ＝ －60 x³
　　(p , q , r)＝(0 , 3 , 2) を（※）に代入すると　5!／0! 3! 2! (－3)³ ・x³ ＝ －270 x³
　　つまり　(x² －3x＋1)⁵　を展開すると　－60x³　と　－270x³　が出てくるので、
　　同類項を整理して、 　　　　　－ 60x³ － 270x³ ＝ － 330 x³