２項定理、練習問題（２）

　　　　　　　　　　〜２項定理〜
○　(a＋b)ⁿ の展開式の a^n－r b^r の係数は _nC_r　　（ただし、r＝0 , 1 , 2, … , n）
○　(a＋b)ⁿ の一般項は _nC_r a^n－r b^r　　（ただし、r＝0 , 1 , 2, … , n）
○　(a＋b)ⁿ ＝ _nC₀ aⁿ b⁰ ＋ _nC₁ a^n－1 b¹ ＋ _nC₂ a^n－2 b² ＋ … ＋ _nC_r a^n－r b^r ＋ … ＋ _nC_n a⁰ bⁿ

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【問】
(1)　_nC₀ ＋ _nC₁ ＋ _nC₂ ＋ … ＋ _nC_n を計算すると、どうなる？
　たとえば、₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀ の値を簡単に求める方法は？

(2)　_nC₀ － _nC₁ ＋ _nC₂ － _nC₃ ＋ … ＋ (－1)ⁿ _nC_n はどうだろう？
　要するに「(a＋b)ⁿ の展開式の係数を、交互に足したり引いたりしたらどうなるか？」ということだ。
　n のまま書くと n が偶数か奇数かによって最後の符号が違うので、そこを「＋(－1)ⁿ_nC_n」と書いた。
 　　具体的にいうと、「₉C₀ － ₉C₁ ＋ ₉C₂ － ₉C₃ ＋ … － ₉C₉ はいくつか？」、
 　「₁₀C₀ － ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ － ₁₀C₃ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀ はいくつか？」ということだ。

(3)　_nC₀ ＋ _nC₂ ＋ _nC₄ ＋ … はいくつ？
　　_nC₁ ＋ _nC₃ ＋ _nC₅ ＋ … は？
　　これも n が偶数か奇数かによって最後の書き方が違ってくるから書きにくいのだが、
 　　要するに 「_nC_偶数 の和」 はいくつか、「_nC_奇数 の和」 はいくつかということだ。

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《答》
(1)　（※）式の右辺に a=1 , b=1 を代入すると _nC₀ ＋ _nC₁ ＋ _nC₂ ＋ … ＋ _nC_n となる。（← 1 は何乗しても 1 ）
 　　また（※）式の左辺に a=1 , b=1 を代入すると (1＋1)ⁿ ＝ 2ⁿ となる。
 　　よって、_nC₀ ＋ _nC₁ ＋ _nC₂ ＋ … ＋ _nC_n ＝ 2ⁿ が成り立つ。
 　　だから、たとえば「₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀」をまともに計算するより「＝ 2¹⁰ ＝ 1024」とやった方が楽だということ。
 　　では、ここで「₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀ ＝ 2¹⁰ ＝ 1024」を別の言い方で説明しよう。
　　「10枚のトランプを投げて、それぞれが表か裏になる。全部で何通りあるか？」を考える。
 　　ある人の数え方は「1枚目のトランプは表か裏の2通り、2枚目のトランプも表か裏の2通り … 10枚目のトランプも表か裏の2通りだから、場合の数は 2¹⁰ ＝ 1024 通り」と答えた。
 　　また別のある人は「表が0枚（全部裏）になるのは ₁₀C₀ 通り、表が1枚（裏が9枚）になるのは ₁₀C₁ 通り、表が2枚になるのは ₁₀C₂ 通り … だから、総数は ₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀ 通り」と答えた。
 　　さて、この場合、どちらの数え方も正しい。前者の数え方の方が良いような気もするが、後者の数え方も間違いではない。
　　よって「₁₀C₀ ＋ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₂ ＋ … ＋ ₁₀C₁₀ ＝ 2¹⁰ ＝ 1024」である。
 　　そのように考えても「_nC₀ ＋ _nC₁ ＋ _nC₂ ＋ … ＋ _nC_n ＝ 2ⁿ」を納得できるだろう。

(2)　(1) では（※）式の右辺に a=1 , b=1 を代入したが、（※）式の右辺に a=1 , b=－1 を代入すれば
 　　_nC₀ － _nC₁ ＋ _nC₂ － _nC₃ ＋ … ＋ (－1)ⁿ _nC_n となる。
 　　また（※）式の左辺にも a=1 , b=－1 を代入すると、左辺は (1－1)ⁿ ＝ 0ⁿ ＝ 0 となる。
 　　よって _nC₀ － _nC₁ ＋ _nC₂ － _nC₃ ＋ … ＋ (－1)ⁿ _nC_n ＝ 0 である。

(3)　(2) の項のうち符号がマイナスのものを右辺に移行する（符号がプラスのものだけを左辺に残す）と、
 　　_nC₀ ＋ _nC₂ ＋ _nC₄ ＋ … ＝ _nC₁ ＋ _nC₃ ＋ _nC₅ ＋ … 　となる。
 　　すなわち「_nC_偶数 の和」と「_nC_奇数 の和」は等しい。では、その値はいくつだろうか？
 　　次に (1) の結果を見てみよう。要するに「_nC_偶数 の和」と「_nC_奇数 の和」が同じで、合わせて 2ⁿ なのだから、
　　「_nC_偶数 の和」はその半分、「_nC_奇数 の和」もその半分である。
 　　すなわち _nC₀ ＋ _nC₂ ＋ _nC₄ ＋ … ＝ _nC₁ ＋ _nC₃ ＋ _nC₅ ＋ … ＝ 2ⁿ／2 ＝ 2^n－1 となる。たとえば、
 　　₁₀C₀ ＋ ₁₀C₂ ＋ ₁₀C₄ ＋ ₁₀C₆ ＋ ₁₀C₈ ＋ ₁₀C₁₀ ＝ ₁₀C₁ ＋ ₁₀C₃ ＋ ₁₀C₅ ＋ ₁₀C₇ ＋ ₁₀C₉ ＝ 2⁹ ＝ 512
　　₉C₀ ＋ ₉C₂ ＋ ₉C₄ ＋ ₉C₆ ＋ ₉C₈ ＝ ₉C₁ ＋ ₉C₃ ＋ ₉C₅ ＋ ₉C₇ ＋ ₉C₉ ＝ 2⁸ ＝ 256 である。