２でやめるな、３までやれ、４はいらん

　新学期になって初めの３時間で「パスカルの三角形 → ２項定理 → ３項定理（多項定理）」と授業を進めた。そして３時間目の終わりに次の話をした。

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　２項定理で満足するな。２項定理も十分に難しいが、３項定理までしっかり練習しよう。そして３項定理が使えるようになれば、４項定理も５項定理も形はほとんど同じだから、実は４項定理や５項定理は練習しなくてよい。
　これはいろんな場面で言えることなのだが、２でやめたら勿体無い。２では一般化できないからだ。でも、３までやれば一般化できる。そこまでやれば４も５も同じだから、実は４や５はやる必要が無いのだ。
　つまり、言いたいのはこういうこと。「２でやめるな、３までやれ、４はいらん」。高校数学に関連する範囲で、他の例を示そう。

○　２次関数で終わるな。３次関数までやれ。そうすれば４次関数でも５次関数でも扱える。
○　２変数 y＝f(x) で終わるな。３変数 z＝f(x , y) までやれ。そうすれば変数が増えても対応できる。
○　平面図形（２次元）で満足するな。空間図形（３次元）までやれ。そうすればｎ次元がわかる。

　さらに、これは数学に限った話ではない。これはもう「普遍的な真実」と言っても良いくらいだ。他の例を挙げよう。

○　ババ抜きは３人以上でやれ
　２人でババ抜きしてもつまらない。どちらががババを持っているか、相手がどんなカードを持っているかを、お互いに全部わかっているからだ。
　１人でババ抜きしたら、もっとつまらないぞ。配ったカードは全部自分のところに来て、同じ数字のペアを順に捨てていくと、最後にババが残って自分の負け。配る前から結果は全て見えている。
　でも、３人でやれば途端に面白くなる。みんながしらばっくれていれば、誰がババを持っているか、何のカードが動いたか、カードの組ができて捨てられるか否か、そんなことが一切わからない。
　そして、ここが大事な点だが、その面白さは４人になっても５人になっても維持される。２人と３人ではまるで違うが、３人以上ではほとんど変わらないのである。

○　ドミノ倒しの原理
　ドミノ倒しという話からには、ドミノは３枚以上必要だ。１枚ではドミノ倒しとは言わない。「何かがバタンと倒れた」、それだけの話である。
　２枚でもドミノ倒しとは言えないだろう。実際、２枚を倒すのは簡単だ。大きさがバラバラでも、距離や向きが適当でも、大体倒れる。
　ところが３枚になると、途端に難しくなるのである。大きさをそろえ、等間隔に平行に置かなければならない。鍵は真ん中のパイである。真ん中のパイは 「前のパイに押されて自らが倒れながら、次のパイを押して倒す」。つまり、真ん中のパイがドミノ倒しをリレーしていくのである。
　そして３枚でうまくいけば、４枚でも５枚でもうまくいく。理論的には体育館いっぱいに並べたドミノを順に全部倒すこともできる。

○　三角関係が人間関係の基本形
　人間関係も同じ。１人ではコミニュケーション取れない。２人ではコミニュケーション取れるが、固定化する。つまり、発展しない。ところが、３人いると途端に流動的になる。２人が仲良くなって１人が取り残されるとか、２人の関係がおかしくなったときにもう１人がとりなすとか、ちょっとしたことで距離感がコロコロ変わる。
　そして３人でうまくやれれば、４人でも５人でも100人の集団でも同じやり方を適用できる。
　２人で仲良くしているだけでは発展しない。固定化して、男女関係ならやがて飽きがくる。一方、三角関係は最初は波乱があっても、やがて四角関係、五角関係へと発展して、最後には円関係になってまぁるく収まるのである。

　話を元に戻そう。言いたいのは「２でやめるな、３までやれ、４はいらん」ということ。「２では一般化できないが、３までやれば一般化できる」からである。だから「２項定理で満足するな。３項定理まで勉強しろ。多項定理なんかやらなくていいぞ」と、言いたいのはそういうことだ。

　勢いに乗って、小学校の算数から「２でやめるな、３までやれ、４はいらん」の例を挙げよう。

○　掛け算も３桁までやれ
　３桁の掛け算をするときの、十の位を見てみよう。十の位は一の位から繰り上がりを受け取りながら、百の位に繰り上がりを送る。これは、ドミノ倒しの真ん中のパイと同じで、繰り上がりをリレーするわけだ。
　ところが２桁の掛け算では、一の位は繰り上がりを送るだけで、十の位は繰り上がりを受け取るだけ。繰り上がりのリレーが起きないわけである。だから、２桁の掛け算ができたからと言って、３桁の掛け算ができるとは限らない。
　３桁の掛け算ができれば、４桁でも５桁でも大丈夫。３桁のときと同じ操作を繰り返せば良いからだ。

○　３桁×３桁までやれば十分
　とは言ったものの、３桁×２桁の掛け算ではまだ不十分だ。３桁×２桁の掛け算をする場合、筆算途中の式で左に１つ数字をズラして書く。だが、それができても、３桁×３桁の掛け算ができるとは限らない。
　３桁同士の掛け算をすれば、１回ごとに１つずつズラすことになるので、その経験があれば、桁数がさらに増えても掛け算できる。

　（３桁×２桁）　　　（３桁×３桁）
　　　◯◯◯　　　　　　◯◯◯
　　 ×　◯◯　　　　　× ◯◯◯
　　　◯◯◯　　　　　　◯◯◯
　　◯◯◯　　　　　　◯◯◯
　　◯◯◯◯　　　　◯◯◯　　　←２桁の掛け算しか知らないと、
　　　　　　　　　　◯◯◯◯◯　　ここをどうしたら良いかが分からない。


○　足し算でも３つの数を足せ
　２つの数を足すとき、繰り上がりがあるとしても１だけ。でも３つの数を足すと、繰り上がりの数が１のときもあれば２のときもある。
　２数の足し算だけをやっていては、いつも「繰り上がりは１」とやりかねない。でも３数の足し算をやれば「下の位を足したときの最上位の数を繰り上げれば良い」ことが分かって、４数の足し算でも５数の足し算でもできるようになる。

　数学の鍵は「３」。一般化、抽象化、変化、いずれにも「３」が大きく関わる。
　余談だが、記事中の数学の例３つ、他の例３つ、算数の例３つと、とことん「３」にこだわった。


◇　パスカルの三角形の裏事情　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/blog-post_463.html ）
◇　２項定理の練習問題（１）　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/08/blog-post_29.html ）
◇　２項定理の練習問題（２）　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/08/blog-post_96.html ）
◇　３項定理と練習問題　　　　（→ https://omori55.blogspot.com/2019/08/blog-post_6.html ）