正しい導出と誤った導出

　「論理式」の授業２回目、前半。

◇　正しい導出とは？

○　導出「前提① , 前提② , ・・・　ならば　結論」が正しい。
○　前提① , 前提② , ・・・ がすべて真のとき　結論も真になる。
○　論理式「（前提① ∧ 前提② ∧ ・・・） ⇒ 結論」　がトートロジー 。

以上３つは同じことです。具体的に見てみましょう。

　上表で前提がすべて真なのは１行目だけで、そこで結論が真になっている。
　　　　だから、この導出は正しい。
　　　　ちなみにこのとき 論理式（（Ｐ⇒Ｑ）∧Ｐ）⇒ Ｑ はトートロジーである。

　下表で３行目を見ると、前提がすべて真であるにもかかわらず、結論が偽になっている。
　　　　だから、この導出は正しくない。
　　　　ちなみにこのとき 論理式（（Ｐ⇒Ｑ）∧Ｑ）⇒ Ｐ はトートロジーでない。

　　※　表の右端まで書くと長くなる。表の左側だけやれば十分で、その方が楽。
　　※　前提の真偽は気にしないことにしよう。
　　　　 導出が正しくて、前提が真であれば、結論が真になる。
　　　　 導出が正しくても、前提が偽なら、結論が真になるとは限らない。

◇　正しい３段論法 と 正しくない３段論法
　　　　次の３つの論理式が正しいか正しくないかを、真理分析してみよう。

　　《答え》１つ目の導出は正しくない。反例は３行目。
　　　　　　２つ目と３つ目の導出は正しい。ちなみに、右端の論理式はトートロジーである。

※　前提「風が吹く ならば 桶屋が儲かる」が正しいとして、それに加えて、
　　○　前提「風が吹いた」がなりたてば、結論「桶屋が儲かる」がいえる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（前件肯定式）
　　○　前提「桶屋が儲かった」がなりたっても、結論「風が吹いた」とはいえない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（逆は真ならず）
　　○　前提「風が吹かない」がなりたっても、結論「桶屋が儲からない」とはいえない。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（裏も真ならず）
　　○　前提「桶屋が儲からなかった」がなりたてば、結論「風が吹かなかった」がいえる。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（後件否定式）

デジタルな論理式