トートロジーと矛盾式

「論理式」の授業１回目、後半。


◇　右表が 論理式の真偽の定義 です。

◇　原子式が１つの場合の真理表作成
　　右の真理表をもとに、原子式が１つだけの場合について真理表を作ってみよう。

　　☆　下表の空欄を埋めてください。

※　定義の表と照合すると同時に、直感的にも納得したい。

◇　トートロジー と 矛盾式
　　　　○　恒に真である論理式 を トートロジー（恒真式）という。
　　　　　　　　真理表の縦一列が全部 1 になれば、その論理式は トートロジー です。
　　　　○　恒に偽である論理式 を 矛盾式（恒偽式）という。
　　　　　　　　真理表の縦一列が全部 0 になれば、その論理式は 矛盾式 です。

　　☆　上で作った論理式（途中式を含む）からトートロジーと矛盾式を書き出してください。

　　　トートロジー　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　　　矛盾式　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

　　※　ある論理式がトートロジーのとき、その否定は矛盾式になる。
　　　　 ある論理式が矛盾式のとき、その否定はトートロジーになる。
　　※　トートロジーである論理式が、いわば定理である。

◇　原子式が２つの場合の真理表作成
　　この場合、左端で Ｐ , Ｑ の真偽の組み合わせをすべて網羅するために４行必要になります。
　　それを規則正しく並べて、表を埋めて、真理分析してみよう。
　　分析する論理式は　（Ｐ⇒Ｑ）⇒（Ｑ⇒Ｐ）　と　（￢Ｐ⇒（Ｑ∧￢Ｑ））⇒ Ｐ　です。

　　上表の右端の値は上から順に 1 , 1 , 0 , 1 となります。ですからこれはトートロジーでない。
　　　　ちなみに、この論理式を日常言語に直すと「逆は真ならず」となります。
　　下表の右端の値は上から順に 1 , 1 , 1 , 1 となります。ですからこれはトートロジーです。
　　　　ちなみに、この論理式は「背理法が正しい証明法である」ことを意味します。

デジタルな論理式