論理式の同値関係

　「論理式」の授業２回目、後半。

◇　同値とは？

○　２つの論理式「Ｐ ⇒ Ｑ」と「Ｑ ⇒ Ｐ」がどちらも なりたつ とき、
　　「Ｐ と Ｑ は同値である」 ⇔　真　⇔　正しい導出　⇔　トートロジー
○　「Ｐ と Ｑ が同値である」ことを「Ｐ ≡ Ｑ」と書く。
○　簡単にチェックする方法
　　　→　真理表の 真理値が一致 するとき、これらの論理式は同値である。

※　平たく言えば、「なぁんだ、けっきょくおんなじことじゃん！」ってこと。


◇　ド・モルガンの法則

　　上表の ￢（Ｐ∧Ｑ） と ￢Ｐ∨￢Ｑ の欄の真偽が一致するので、この２つは同値である。
　　なお、命題 ￢（Ｐ∧Ｑ）⇒ ￢Ｐ∨￢Ｑ　と 命題 ￢Ｐ∨￢Ｑ ⇒ ￢（Ｐ∧Ｑ）　はどちらも真。

　　☆　上の２つ目の表を埋めて、￢（Ｐ∨Ｑ） ≡ ￢Ｐ∧￢Ｑ　であることを確認しよう。

　　＜例＞
　　・￢（1＜x＜5）≡ ￢（（x＞1）∧（x＜5））≡ ￢（x＞1）∨ ￢（x＜5）≡（x≦1）∨（x≧5）
　　・￢（おんなこども）≡ ￢（女 ∨ 子供）≡ ￢女 ∧ ￢子供 ≡ 男 ∧ 大人 ≡ おじさん

◇　逆 ・ 裏 ・ 対偶

○　順　Ｐ ⇒ Ｑ　に対して、
　　逆　Ｑ ⇒ Ｐ
　　裏　 ￢Ｐ ⇒ ￢Ｑ
　 対偶　￢Ｑ ⇒ ￢Ｐ

＜例＞
　　　　順　 ：　犬は動物である。　（x が犬　ならば　x は動物 である）
　　　　逆　 ：　動物は犬である。
　　　　裏　 ：　犬でないものは動物でない。
　　　 対偶　：　動物でないものは犬でない。

　　☆　その４つの論理式のうち、同値関係にあるものはどれか。

　　Ans.　（Ｐ ⇒ Ｑ）≡（￢Ｑ ⇒ ￢Ｐ）　と　（Ｑ ⇒ Ｐ）≡（￢Ｐ ⇒ ￢Ｑ）
　　　　　　すなわち、ある命題（順）とその対偶は同値である。
　※　そのことは言われる前からご存じでしたでしょうけれど、真理表を書けば確認できます。

デジタルな論理式