２のｎ乗のザックリ計算（２）

　　≪ ザックリ公式 ≫　　1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2ⁿ⁻¹ ＝ 2ⁿ

数学的に正しい式としては　　1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2ⁿ⁻¹ ＝ 2ⁿ − 1
なんですが、2ⁿの概数を求めるためにザックリ計算しますので、1 の差なんかどうでもいいわけです。

計算を示しますと、
　　1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2ⁿ⁻¹ ＝ （1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2ⁿ⁻¹）×（2 − 1）
　　　　　　　　　　　　　＝ （2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ … ＋ 2ⁿ）−（1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2ⁿ⁻¹）
　　　　　　　　　　　　　＝ 2ⁿ − 1
　　　　　　　　　　　　　 ≒ 2ⁿ
となります。

この公式はこんな場面で使えます。

王様：褒美にこれから 30 日間、毎日１万円ずつお前に与えよう。
家来：めっそうもございません。
　　　１日目に１円、２日目にその倍の２円、３日目にそのまた倍の４円、
　　　・・・ このように 30 日間いただけたら十分でございます。
王様：欲のないヤツよのう。希望とあらば、そうしてやることにしよう。

さて、この家来が 30 日後にいくら手にするかというと、

1 ＋ 2 ＋ 4 ＋ … ＋ 2²⁹ ＝ 2³⁰ ＝ 10 億円！

家来はウハウハですね。
（ちなみに、このまま続けると 40 日目には 1 兆円、54 日目には 「京」 の単位に達します）

公式１　　　公式２　　　問題演習１　　　問題演習２　　　問題演習３