確率ゲーム（京大入試より）

　ちょっと古いものですが、京都大学の入試問題（数学）に ゲーム理論っぽいもの を見つけました。（京都大学 文系学部 1977年度）

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(1)　サイコロを１回または２回ふり、最後に出た目の数を得点とするゲームを考える。１回ふって出た目を見た上で、２回目をふるか否かを決めるのであるが、どのように決めるのが有利であるか。

(2)　上と同様のゲームで、３回ふることも許されるとしたら、２回目、３回目をふるか否かの決定は、どのようにするのが有利か。

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　この問題のどこがゲーム理論っぽいかというと、自分に最も有利な戦略を立てようとしているところ。そして、時間をさかのぼりながら後ろから前へと順に解を求めるところ。ゲームの木の処理の仕方と同じです。
　反対にゲーム理論っぽくないところは、ゲームの相手がサイコロであるところ。つまり「互いに相手の戦略を読み合う」という構図にはなっていないわけです。自分は一生懸命考えて手を打とうとしているのですが、サイコロは何も考えずに気まぐれに手を打ってきます。
 　「ゲーム理論」といえばゲーム理論なんでしょうけれど、受験生にとっては普通に「数学の問題」でしょうね。
　でもこの問題、大人にも高校生にも楽しめると思います。(2) は難しいかもしれませんが。
　上の問題がすんなり解けてしまった人は、

(3)　上と同様のゲームで、最大で 10 回までふることが許されるとしたら、どのようにするのが有利か。

これでも考えてみてください。

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《解答》
(1)　サイコロを１回ふったときの得点の期待値は 7/2 ＝ 3.5 。
　　　　　　　　　（１回目でも２回目でも３回目でも同じだ）
　　よって、１回目にふって出た目の数が 1 , 2 , 3 のいずれかのときは２回目をふり、
　　　　　　１回目にふって出た目の数が 4 , 5 , 6 のいずれかのときは２回目をふらない … (A)
　　これが最も有利な戦略である。

　　この戦略に出た場合の得点の期待値は 3/6×7/2＋1/6×4＋1/6×5＋1/6×6＝17/4＝4.25 … (B)
　　無条件に２回目をふる、もしくは無条件に２回目をふらない場合の得点の期待値は 7/2＝3.5 … (C)
　　確かに、(B) の方が (C) より有利だ。

(2)　サイコロをふるチャンスが残り１回となった時点では上記 (A) の戦法を採るべきだ。
　　さて、１回目をふった後に２回目をふるか否かの判断をどうすればいいか？
　　２回目をふった時点で戦法 (A) を採れば期待値は (B) になるから、１回目に出た目と (B) をくらべればいい。
　　よって、１回目にふって出た目の数が 1 , 2 , 3 , 4 なら２回目をふり、5 , 6 なら２回目をふらない
　　　　　　２回目にふって出た目の数が 1 , 2 , 3  なら３回目をふり、4 , 5 , 6 なら３回目をふらない … (D)
　　これが最も有利な戦略である。

　　この戦略に出た場合の得点の期待値は　4/6×17/4＋1/6×5＋1/6×6＝14/3 ≒ 4.67 … (E)
　　(B) よりさらに期待値が上がった。


ついでながら、ここでもう１問追加してみます。

(3)　上と同様のゲームで、最大で 10 回までふることが許されるとしたら、どのようにするのが有利か。

(2) から「最後から３回目のサイコロをふった時点では上記 (D) の戦法を採るのが最も有利だ」といえる。
さて、最後から４回目をふった後に次をふるか否かの判断をどうすればいいか？
それには、最後から４回目に出た目と (E) をくらべればいい。
その結果、最後から４回目に出た目が 1 , 2 , 3 , 4 なら次をふり、5 , 6 なら次をふらない となる。

さて、この計算をいつまで続ければいいのか？
ところで、(B) , (E) にあたる値はこの後増え続けて、減ることはない。また、6 を超えることもあり得ない。
その値が 5 より大きければ「サイコロの目が 6 ならそこでやめ、それ以外なら続けるのがよい」となる。
その値が 5 より小さければ「サイコロの目が 5 , 6 ならそこでやめ、1 , 2 , 3 , 4 なら続けるのがよい」となる。
だから、(B) , (E) にあたる計算をし続けて、5 を超える瞬間を見つければいいのである。

そこで、計算を繰り返す。
4/6×14/3＋1/6×5＋1/6×6 ＝ 89/18 ≒ 4.94　・・・ おしい、、もうちょっと。
この値は「最大で４回ふることが許される場合の期待値」であり、
このことから「最後から５回目に 5 , 6 が出たらそこで止め、1 , 2 , 3 , 4 なら続けるのがよい」ことがわかる。

ゴールは近い、もう１回。
4/6×89/18＋1/6×5＋1/6×6 ＝ 277/54 ≒ 5.13 ・・・ やったぁ、超えたぁ。
この値は「最大で５回ふることが許される場合の期待値」であり、このことから「最後から６回目に出た目が 6 ならそこで止め、 他の目なら続けるのがよい」ことがわかる。

この先はずっと同じである。例の期待値はこの後も増え続けるが、6 には到達しないのだから、「6 が出たら止めて、6 が出なかったら続ける」のが最も有利である。

以上をまとめると、
(3)　サイコロを最大で 10 回までふってよくて、最後に出た目を得点とするゲームを考える。
　　10 回未満の回数でやめてもよい。このゲームで最も有利な戦略はどんなものか。
の答えは
１～５回目では 6 の目が出た時点でやめ、6 が出ないなら続ける。
６～８回目では 5 か 6 の目が出た時点でやめ、5 , 6 が出ないなら続ける。
９回目では 4 , 5 , 6 が出たらやめ、1 , 2 , 3 が出たら最後の 10 回目をふる。
となる。計算ミスしてなければ 。。。

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