Ｓ字カーブを描いてみよう

「モデル化とシミュレーション」の授業７回目。俗に「ねずみ算式に増える」といいますが、現実にある多くのものは限りなく増え続けることはないでしょう。「世界人口が年率○％で増え続ける」といっても、たぶん百兆人を超えることはないでしょう。「勉強すれば必ず点数が上がる」といっても、満点を超えることはありません。現実にはおのずから上限（許容量）があったり、やがてバランスをとったりして、ある値に収束していくことの方が普通でしょう。今日は、そういうものを扱います。

　＜トライアル６＞
Ｓ字カーブを描いてみよう。

ねずみで考えましょう。＜図１＞は前に扱った図解モデルの＜基本形２＞と同じです。この場合、ねずみは一定の割合で増え、ねずみの総数はグラフの「点線」のように限りなく増え続けることになります。

けれども、スペースやエサに限りがある場合、無限の数のねずみは生息できません。ねずみの増え方はだんだん穏やかになって、やがて増えなくなるでしょう。その様子をグラフ化すると、上のグラフの「実線」のような「Ｓ字形のカーブ」になります。
では、エクセルを使って実際にＳ字カーブを描いてみましょう。そのために「図解モデル→数式モデル→エクセルの関数式→グラフ」と順番に進んでいきます。
＜図２＞のようなモデルを考えてみましょう。「上限（許容量）」を設定して、ねずみの数がそれに近づくにつれて増加率が減少して、やがて増加率がゼロになるようにしなければなりません。そのためには、

◇　増加量＝ねずみの数×増加率×（１－ねずみの数／上限）

とすればよい。なお、この式は

◇　増加量＝ねずみの数×（上限－ねずみの数）×定数

と実質的に同じです。

　図解モデルの＜基本形１＞と＜基本形２＞のグラフとそれぞれに上限を設定したグラフ、全部で４種類のグラフを描いてみました。右のシートのセルC3の式は「=C2＋B3」で固定して、セルB3の式を変えています。
　(1)と(2)は＜基本形１＞と＜基本形２＞のグラフです。それらに上限1000を設定したグラフが(3)と(4)です。セルB3の式を、(1),(2),(3),(4)の順に、

= 70
= C2＊0.4
= 70＊(1－C2／1000)
= C2＊0.4＊(1－C2／1000)

としました。(4)がＳ字カーブです。

　一般に、モノが増えるときの増え方は直線的ではなくて、指数関数的（加速度的）です。と同時に、無限に増え続けるものではなくて、どこかに限度があるはずです。ということは、Ｓ字カーブこそが「モノの増え方の基本形」だといえるでしょう。

モデル化の技術