３直線は１点で交わるのか？

【問】△ABC の３辺 BC , CA , AB 上に点 P , Q , R がある。
　　　３点 P , Q , R を通る円が△ABC に内接するとき、
　　　３直線 AP , BQ , CR は１点で交わる … ☆
　　のか？

　　☆について、それが必ず成り立つなら、証明してね。
　　そうでないなら、成り立たない事例を挙げて。

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《講評》
　案の定「３直線が『内心』で交わる」という答案が多かったですね。「角の２等分線定理」を使った答案は全部間違いです。
　３直線は交わるけれども、その交点は内心ではありません。一般には３直線は内心を通らないし、頂点と内心を結ぶ直線は接点 P , Q , R を通りませんよ。
　「３直線は１点で交わらない！」という答案もありました。けれども「成り立たない事例」がうまく説明されていない。ところで、そんな事例を挙げるのは無理なんですね。だって「３直線は１点で交わる」んですから。
　白紙もありましたけど、「１点で交わるのか否か」の予想だけでも書いて欲しかったですね（点数をあげるわけにはいきませんが）。

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《答え》

つまり、☆は必ず成り立つ。成り立たない事例は挙げようがない。

結論を言わない証明問題