投票のパラドックス（資料４）

慶応大学総合政策学部2018「小論文」より

《資料４》

　IIA公理（注１）は極めて自然なものですが、全会一致公理（注２）ほどの説得力はありません。例えば、次の２つの選考の組を考えてみましょう。各表が１つの選考の組を表しており、各表では各人の選好について、上から順に最も望ましいものから並んでいます。

表１：

	個人Ⅰ	個人Ⅱ	個人Ⅲ	個人Ⅳ
1位	x	x	a	a
2位	a	a	b	b
3位	b	b	y	y
4位	y	y	x	x

そして

表２：

	個人Ⅰ	個人Ⅱ	個人Ⅲ	個人Ⅳ
1位	a	a	y	y
2位	b	b	a	a
3位	x	x	b	b
4位	y	y	x	x

　どちらの選好の組でも x と y の間の上下関係は同じです。個人ⅠとⅡは共に x を y より好み、個人ⅢとⅣは y を x より好んでいます。したがって、IIA公理に従えば、一方の選好の組で x を y より社会的に好むとするならば、もう一方の組でも x を y より社会的に好み、逆ならば逆となるはずです。しかし、この結果はあまりうまくいかないようです。表１の選好の組では x を y より好む２人の個人は x を第１位、y を第４位にしています。それに対して、y を x より好む２人の個人は x と y をともに下の方に置いています。x を y より好む２人の個人は x を y に比べてかなり強く好んでいるのに対して、y を x より好む２人のほうはそれほどでもないわけです。この場合には社会的には x を y より好むとしてしまってもよいという考え方もあり得るでしょう。表２の選好の組ではこの関係が逆転しています。この場合には同様の理由により y を x より好むとしたほうがいいでしょう。しかし、そうするとIIA公理が満たされないことになってしまいます。
　要するに、IIA公理は見かけほど説得力のあるものではないのです、例えば、各個人が成績表の選択肢に順序をつけ、上から順に 4 , 3 , 2 , 1 という点を与えるような場合を考えてみましょう。表１の選好の組では、x の点数は最初の２人にとっては 4 点になるし、次の２人にとっては 1 点となります。同様に y の点数はそれぞれ、1 , 1 , 2 , 2 となります。これらの点数を足し合わせると、最初の選好の組では x が y よりも高得点となり、表２の選考の組ではそれが逆転することになります。

（注１）無関係な選択肢からの独立性（IIA）［IIA は Independence of Irrelevant Alternative］：ある特定の選択肢 x , y に関する社会的選好は個人の x , y に関する選好にのみ依存する。
（注２）全会一致制：もし全ての人が y より x を好むのであれば、社会もそうでなくてはならない。

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