確率ゲームを３Ｄで見る

　練習問題 No.6（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/no6.html ）の補足説明です。前の記事（→  ）の続編です。

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◇　ピッチャーとバッターの対決を３Ｄで見る

前ページでは座標平面上に期待値グラフを描いたが、ピッチャーの選択とバッターの選択の２つのパラメータでヒット率が決まるのだから、本当は期待値グラフは３次元空間内の曲面になる。
　ピッチャーが変化球を投げる確率を x、バッターが変化球と予想する確率を y として、このときバッターがヒットを打つ確率を z とすると、

z＝0.5(1-x)(1-y)＋0.1x(1-y)＋0.3(1-x)y＋0.4xy

となり、この式をもとにエクセルを使ってグラフ化したものが右グラフ（３次元期待値グラフ）である。
　このグラフをバッターは①の方から見ている。そうすると前記事の＜グラフ①＞のように見える。ピッチャーは②の方から見ている。これが前記事の＜グラフ②＞だ。
　さて、この場合、ゲームの解がどこになるかというと、曲面を地形に見立てたときにちょうど峠にあたる場所である。その点は、２次元期待値グラフでいうと２直線の交点にあたる。

◇　コイン・ゲームを３Ｄで見る
　下のグラフにおいて、x 軸は「Ａが裏を出す確率」、y 軸は「Ｂが裏を出す確率」、z 軸は「Ｂの獲得ポイント」である。

　３次元曲面を①の方向から見ると、２直線の交点はわずかながら x 軸より上にある。つまり、Ｂが有利。そのグラフの上下をひっくり返せば「Ａの獲得ポイント」になる。もちろん、Ａは不利。
　山を越えるとき、高低差が最も小さい道のりを行きたい。それが最も楽だから。その道のりの最高地点、峠の茶屋のあるところ。そこがゼロサム確率ゲームの解になる。

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