確率ゲームを連立方程式で解く

　練習問題 No.6（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/no6.html ）の解説・解答（→ https://omori55.blogspot.com/2019/03/no.html ）の補足説明です。

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◇　期待値グラフが直線になるわけ
　ピッチャーが直球を投げるとき、バッターが変化球と予想する確率を x、直球と予想する確率を (1−x) とする。このときバッターがヒットを打つ確率は、

0.5(1−x)＋0.3x＝-0.2x＋0.5

となる。この式が x の１次式であることに注目すれば、ヒット率を表す期待値グラフが直線になることが分かる。
　そして、直線になることが分かれば、式を立てなくても、グラフの両端の点を結べばそれでよい。

　同じようにピッチャーが変化球を投げるときにバッターがヒットを打つ確率（期待値）は

0.1(1−x)＋0.4x＝0.3x＋0.1

となる。＜グラフ①＞の右上がりの直線である。
　ところで、ここまではピッチャーが直球を投げるときと変化球を投げるときだけを考えたが、実際にはピッチャーは直球と変化球を確率的に投げ分ける。その場合もヒット率（期待値）は必ずグラフの斜線部分に収まる。

◇　確率ゲームを連立方程式で解く
　さらに、ピッチャーが合理的なら（バッターの戦略がピッチャーに読まれたら）、ヒット率は斜線部分の下端になる。そう考えると、バッターの戦略としては２直線の交点が最も望ましいことになる。

すなわち、２直線の交点がゲームの解である。それを求めるには連立方程式を解けばよい。

z＝−0.2x＋0.5
z＝0.3x＋0.1

を解くと、(x , z)=(0.8 , 0.34)となる。

　また、この対決をピッチャーの立場で見たものが右の＜グラフ②＞である（y：ピッチャーが変化球を投げる確率、z：ヒット率）。２直線の方程式は、

z＝−0.4y＋0.5
z＝0.1y＋0.3

となり、これを解くと(y , z)=(0.4 , 0.34)となる。
以上から、

・ピッチャーの戦略直球と変化球を0.6：0.4＝3：2の割合で配球
・バッターの戦略直球と変化球を0.2：0.8＝1：4の割合で予測
・ゲームの解打率は 0.34（3割4分）となる。

ところで、グラフ中の２つの三角形は相似だから、相似比を使って交点を求めるのが手っ取り早い。しかも相似比は利得表中の数の差である。だから結局は、利得表に欄を少々書き足して欄を埋めることでゲームの解が求められる。それが拡張版利得表である。

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