無限ってなんだかいかがわしい

　前に出した問題「板をズラして積み上げる」の続きです。

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【問】大きさ・重さが同じ板が４つある。
　　　１つの板の長さを１とする。
　　　これらを右のように積み上げる。

　(1)　全体の長さ（全長）は、どこまで長くなるかな？

　(2)　板がもっとたくさんあったら、どうだろ？
　　　無限個積み上げたら、どこまで長くなるんだろ？

　崩れちゃダメだよ。

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　この問題の (2) の《答え》は「板を無限個積み上げたら、全長は無限に長くなる」でした。
　ここではもう少し具体的に「板をどの高さまで積み上げたら、全長はどれくらい長くなるか？」を見ていこう。
　まず、板の長さを 10cm、厚さを 1cm とする。どこにでもありそうな板だろう。その板の枚数をどんどん増やしていって、高く高く積み上げて、板がどこまで横に長くなるかを調べてみた。

　板の枚数が５枚までは正確に計算した。５枚積んだ時点で、板の長さの２倍の 20cm を超えた。
　それ以上まともに計算するのは無茶なので、先ほど示した式

1＋1/2＋1/3＋ … ＋1/n ＜ 1＋log n

の右辺 1＋log n を使って、n 枚積み上げたときの板の全長 L を求めてみた。不等号の向きから分かるように、それは若干多めに見積もった長さである。理論的な全長 L はそれよりいくらか短い値になる。
　10 枚積み上げると 26cm、100 枚積み上げる（高さ 1m）と 38cm 。思ったほど長さが伸びない。そこで一気に東京スカイツリーの高さ（648m＝64,800枚）まで積み上げると 70cm、エベレスト山の高さ（8,848m＝884,800枚）まで積み上げても 83cm 。全長 L はまだ 1m に届かない。
　ヤケクソというわけではないが、月まで積み上げたら、さすがに 1m を超えた。太陽まで積み上げたら、さらに伸びたものの、2m には届かない。

　そう、「全長 L が無限に長くなる」と言っても、その増え方はこんなものなのである。理屈では無限大であっても、現実には 1m にも達しないのだ。無限ってなんだかいかがわしい。こんな事例 もあった。

無限のいかがわしさ